Para responder a la pregunta, supongo que está familiarizado con el álgebra lineal y el concepto de vector y espacio vectorial.
En mecánica cuántica, el estado de un sistema puede expresarse como un vector en algún espacio vectorial abstracto. Este espacio vectorial es algo diferente del espacio vectorial euclidiano familiar: primero puede tener (y a menudo tiene) dimensión infinita, y segundo: el espacio está sobre el campo de números complejos, eso significa que puede multiplicar cualquier vector desde este espacio por un número complejo y obtendrás otro vector del mismo espacio.
Entonces: ¿qué es [matemáticas] | a \ rangle [/ matemáticas]? Esto denota simplemente un vector en este espacio. Algo que en el espacio vectorial euclidiano usualmente denotamos como [math] \ vec a [/ math] o [math] \ mathbf {a} [/ math]. Por definición, un vector en este espacio es un estado del sistema mecánico cuántico, por lo que [math] | a \ rangle [/ math] es algo que contiene toda la información sobre el sistema, todo lo que pueda saber o incluso no saber sobre él. está contenido en este vector. Puedes pensar que [math] | a \ rangle [/ math] es una “flecha” en algún espacio, si no te molesta, que el espacio tiene (generalmente) una dimensión infinita.
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Ahora probablemente sabe que para un espacio vectorial puede elegir un conjunto de vectores base y luego puede expresar cualquier vector de este espacio como una combinación lineal de esos vectores base. Los números por los que tiene que multiplicar los vectores base por, para obtener su vector se llaman sus coordenadas, y puede escribir su vector como una columna de números: sus coordenadas. Por supuesto, es lo mismo en la mecánica cuántica, solo que la columna puede ser infinita (de hecho, puede tener innumerables elementos) y que las coordenadas son números complejos. También sabe que si elige una base diferente, las coordenadas de cualquier vector cambiarán, por lo que si elige escribir sus vectores y columnas de coordenadas, siempre debe especificar qué sistema de coordenadas utiliza. No es diferente en la mecánica cuántica: puede escribir el estado del sistema como un conjunto (a menudo infinito) de números, pero debe especificar qué base utiliza. Por ejemplo, es popular expresar el estado de una partícula como una función de onda [math] \ psi (x) [/ math]: esta notación significa que ha decidido trabajar en base a coordenadas espaciales. La notación [math] | \ psi \ rangle [/ math] expresa un vector independiente del sistema de coordenadas, mientras que [math] \ psi (x) [/ math] es su representación en una base particular. Como en la física clásica, es deseable expresar ecuaciones en forma de vectores, independientemente de cualquier sistema de coordenadas particular, también en mecánica cuántica es deseable escribir ecuaciones en forma de vectores.
Ahora, vamos a [matemáticas] \ langle a | [/ matemáticas]: ¿qué es esa bestia? En mecánica cuántica a menudo calculamos productos escalares. A menudo se dice que el producto escalar toma dos vectores y crea un solo número a partir de ellos; sin embargo, cuando haces las matemáticas con cuidado, descubres que en realidad estás multiplicando un vector por otra bestia, un pacto que viene de un espacio vectorial diferente llamado El espacio dual. En la geometría euclidiana, encontrar un vectorizador de un vector dado como una columna de coordenadas significa simplemente reescribir la columna como una fila, pero no siempre es tan fácil. En particular en la mecánica cuántica, si tiene un vector escrito como una columna de coordenadas, encontrará su coeficiente cambiando la columna a una fila y tomando un conjugado complejo de todas las coordenadas.
Por lo tanto, hemos establecido el significado de [math] | a \ rangle [/ math] (a veces llamado ket-vector o ket): es algún estado de su sistema, un vector en el espacio abstracto de estados y [math] \ langle a | [/ math] es su guía (llamada a veces bra-vector, o simplemente bra), desde el espacio dual al espacio de estados. Ahora puede escribir el producto escalar de vector y covector simplemente como [math] \ langle a | b \ rangle [/ math]. Esta notación denota un producto escalar. Por lo tanto, [math] \ langle a | b \ rangle [/ math] es un número (complejo).
Ahora, en su pregunta, hay algunas cosas entre el sujetador y el ket. Lo que puede entrar allí es un operador. La mecánica cuántica funciona con operadores lineales, que es de esperar que conozcas por álgebra lineal estándar. Piense en un operador como algo que toma un vector y lo transforma en otro vector. Puede ser una simple multiplicación de un vector por un número (el símbolo [math] \ hbar [/ math] de su ejemplo denota generalmente la constante de Planck), pero generalmente un operador también puede rotar el vector. Por lo tanto, una notación como [math] \ langle a | \ hat V | b \ rangle [/ math] significa: tomar el vector de estado [math] | b \ rangle [/ math], aplicar el operador [math] \ hat V [/ math] y luego tome el producto escalar del resultado con [math] \ langle a | [/ math], el codificador de [math] | a \ rangle [/ math].
Ahora, la respuesta no explica por qué querrías hacer tales cosas, solo explica la notación.
