Hace años, escribí esta fórmula después de jugar un tiempo con el cálculo.
¡NO hay nada espectacular al respecto! es solo una forma de reescribir la definición integral normal.
Pero le permite ver cómo puede explotar la definición para realizar la integración desde los primeros principios.
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Creo que puede ser lo que estás buscando.
Si [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = f ‘{(x)} [/ matemáticas]
entonces [matemáticas] y = f (x) = \ int f ‘{(x)} .dx = \ sum_ {i = 0} ^ {r} (f’ {(x + i \ cdot dx)}). dx [/matemáticas]
Donde … [matemáticas] r = \ frac {\ delta x} {dx} [/ matemáticas]
Y [math] \ delta x [/ math] = la diferencia entre el punto de inicio de integración y el punto final (límite inferior y superior)
Puedes aplicar esto a
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ int e ^ x dx [/ matemáticas]
lo que da:
[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {r} (e ^ {x + i \ cdot dx}) dx [/ matemáticas]
En expansión:
[matemáticas] (e ^ x + e ^ {x + dx} + e ^ {x + 2 \ cdot dx} + e ^ {x + 3 \ cdot dx} + \ ldots + e ^ {x + r \ cdot dx }) dx [/ math]
dónde
[matemáticas] r = \ frac {\ delta x} {dx} [/ matemáticas]
Simplificando factorizando [math] e ^ x [/ math],
[matemáticas] e ^ x \ cdot (1 + e ^ {dx} + e ^ {2 \ cdot dx} + e ^ {3 \ cdot dx} + \ ldots + e ^ {r \ cdot dx}) dx [/ matemáticas]
Vemos más fácilmente que la cantidad entre corchetes es una serie geométrica con un primer término de [matemática] 1 [/ matemática] y una razón común de [matemática] e ^ {dx} [/ matemática] y [matemática] r [/ matemática ] términos
Entonces, aplicamos la fórmula de suma geométrica que establece que la suma de una serie geométrica con el primer término, ayn términos y una razón común entre los términos de r es:
[matemáticas] S_ {n} = \ frac {a \ cdot (r ^ {n} -1)} {r-1} [/ matemáticas]
Esto reduce la suma a:
[matemáticas] e ^ x dx \ cdot \ frac {(e ^ {r \ cdot dx} -1)} {e ^ {dx} – 1} [/ matemáticas]
Podemos simplificar esto aún más reduciendo el denominador:
[matemáticas] e ^ {dx} – 1 = 1 + dx + \ frac {dx ^ 2} {2!} + \ frac {dx ^ 3} {3!} + \ frac {dx ^ 4} {4!} + \ ldots + \ frac {dx ^ {r-1}} {(r-1)!} + \ frac {dx ^ r} {r!} – 1 [/ math]
Como [math] dx \ rightarrow 0 [/ math],
entonces todos los términos dx con potencias superiores a 1 disminuyen rápidamente y pueden ignorarse.
Entonces, el valor de [math] e ^ {dx} – 1 = dx [/ math].
Nuestra suma se convierte en:
[matemáticas] e ^ x \ cdot (e ^ {r \ cdot dx} -1) [/ matemáticas]
que cuando nos expandimos se convierte en:
[matemáticas] (e ^ {x + r \ cdot dx} -e ^ x) [/ matemáticas]
Pero [matemáticas] r = \ frac {\ delta x} {dx} [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] r \ cdot dx = \ delta x [/ matemáticas]
Nuestra ecuación final se convierte en:
[matemáticas] e ^ {x + \ delta x} – e ^ x [/ matemáticas].
Vemos que trabajando hacia atrás desde [math] \ frac {dy} {dx} = e ^ x [/ math]
Estamos de vuelta en [matemáticas] f (x + \ delta x) – f (x) [/ matemáticas] … por ejemplo
[matemáticas] e ^ {x + \ delta x} – e ^ x [/ matemáticas].
Entonces la integral de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] es [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas].
Pruebe la misma técnica en [math] sin (x) [/ math], [math] cos (x) [/ math] y otras formas más complejas y usted
confirmará la validez
Esta, creo, es la definición rigurosa de una función integral indefinida.
Gracias.
