En primer lugar, me ha molestado durante años, en realidad décadas, que usamos el “momento de inercia” en ingeniería mecánica para referirnos a dos cosas completamente diferentes. Uno de ellos es el momento correcto de inercia para problemas de dinámica de rotación con pares y momento angular, etc. El segundo es para problemas de flexión de la viga. En ese caso, es realmente el segundo momento del área. Ambos usan el mismo símbolo, mayúscula I.
Estás preguntando sobre el segundo caso y te preguntas por qué usamos el segundo momento en lugar del primer momento (por qué es r ^ 2 en lugar de solo r).
Esto ocurre en la derivación del momento flector en una viga que ha sido curvada aplicando una carga. Piensa en alguien parado en el extremo de un trampolín. El tablero se dobla. Su peso al final del tablero produce un momento en la raíz. Deseamos comprender la distribución de las tensiones en el material del trampolín cerca de la raíz para asegurarnos de que no se rompa y predecir cuánto puede desviarse la punta del trampolín hacia abajo.
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Las fibras a lo largo de la porción superior del tablero se estiran, y las fibras a lo largo de la porción inferior del tablero se comprimen. A lo largo del eje neutral en el medio del tablero, las fibras no cambian la longitud en absoluto. Básicamente, así es como definimos el eje neutral en primer lugar.
Las fibras se estiran en una cantidad proporcional a lo lejos que están del eje neutro. Esa es una de las suyas. El estrés en la fibra es proporcional a cuánto se estira, por lo que el estrés aumenta en proporción a este r. Si multiplica el estrés por un área pequeña, dA, entonces obtiene una pequeña fuerza, dF, debido a esa parte del tablero. Pero necesitamos la contribución al momento. Entonces tienes que multiplicar ese dF por la distancia desde el eje neutral, r. Esa es la segunda r. La contribución al momento debido a cada dA es proporcional a r ^ 2. Entonces, la integral que nos da el momento tiene una integral r ^ 2 dA con algunas constantes en el frente, incluido el módulo de Young, E. Pero el punto es que esta integral r ^ 2 dA siempre aparece, y alguien se dio cuenta y dijo: hey, mire, podemos simplificar todos estos problemas al tratar con r ^ 2 dA integral para cualquier forma de sección transversal y se parece mucho a r ^ 2 dm integral, que es el momento de inercia de la masa. Llamemos a nuestra cosa el momento de inercia del área. Y después de un tiempo, la gente comenzó a soltar la parte del “área” del nombre y simplemente lo llamó momento de inercia. Muy confuso. De todos modos, esta es la razón por la cual es el segundo momento del área, no el primero. Así es como funciona la física. No podemos elegir.
