- El momento angular puede o no conservarse en el espacio-tiempo curvo.
- En el caso de las soluciones Kerr y Kerr-Newman (agujeros negros giratorios) hay un solo componente de momento angular conservado, en contraste con los tres componentes en el espacio-tiempo plano.
- El componente de momento angular conservado en las soluciones de Kerr y Kerr-Newman es el del eje de rotación del agujero negro. Sin embargo, se debe tener cuidado en la interpretación de esta cantidad.
- No hay conservación del momento angular sobre los otros ejes.
- En el caso más general, no existe una cantidad conservada que podríamos considerar energía, momento o momento angular.
Cuanto más simétrica es la curvatura, más simetrías espacio-temporales puede haber. Esta es una consecuencia del teorema de Noether. El espacio-tiempo plano es máximo simétrico: se ve igual desde todos los puntos y en todas las direcciones. Entonces obtienes el número máximo de leyes de conservación en el espacio-tiempo plano. Hay 10: energía, 3 componentes de momentos, 3 componentes de momentos angulares y las 3 cantidades oscuras [matemáticas] x ^ \ mu – tp ^ \ mu [/ matemáticas] (que tienen la interpretación de “posición inicial del centro de masa”).
El espacio-tiempo curvo no es tan simétrico. A medida que avanza en algunas direcciones, la curvatura puede cambiar. Entonces hay menos leyes de conservación.
Para precisar esto, tenemos que introducir el concepto de campos vectoriales de Killing. Un campo vectorial Killing es un campo vectorial [math] X [/ math] para el cual la derivada de Lie de la métrica desaparece,
[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L} _X g = 0 [/ math]
En un sentido preciso, esto significa que la curvatura del espacio-tiempo parece ser la misma en todos los puntos a lo largo de cualquier curva integral del campo vectorial. Si arrastra todo a lo largo de su propia curva integral al mismo tiempo, la física permanece igual. Esta es una simetría continua y produce una ley de conservación. Para una sola partícula que cae libremente, la cantidad conservada es
[matemáticas] \ displaystyle Q = X \ cdot p [/ matemáticas]
donde [math] p [/ math] es el impulso de cuatro. Esta cantidad tendrá el mismo valor en cada punto a lo largo de la trayectoria de la partícula. En el espacio-tiempo plano, hay 10 campos vectoriales de Matanza linealmente independientes, cada uno de los cuales produce una de las cantidades conservadas discutidas previamente.
En los tiempos espaciales de Kerr y Kerr-Newman, hay dos campos vectoriales de Matanza linealmente independientes. Existe el campo temporal, [math] X = \ partial_t [/ math]. Esto le indica que el espacio-tiempo alrededor del agujero negro parece permanecer igual independientemente de la hora a la que lo observe. Siempre que haya un campo vectorial de Matanza temporal, llamamos a la cantidad conservada correspondiente “energía”. Entonces, la idea habitual de que una partícula que cae en un pozo gravitacional pierde energía potencial gravitacional y gana energía cinética en igual medida, en realidad tiene sentido cuando una partícula cae en un agujero negro.
El otro campo vectorial de Killing es [math] X = \ partial_ \ phi [/ math]: el que circula alrededor del eje z (el eje del agujero, por convención). La interpretación es que si caminas alrededor del agujero negro, se ve igual desde todos los lados. Sin embargo, eso solo se aplica mientras permanezca dentro de un plano perpendicular al eje z. Si te desvías en otra dirección, esto ya no es cierto. Una partícula de prueba en el plano ecuatorial (xy-) se arrastra en la dirección en la que gira el agujero negro, y se tira hacia el agujero. Sin embargo, una partícula de prueba en el eje z solo se tira hacia el agujero. (Un cuerpo extendido en el eje comenzaría a girar). Por lo tanto, el agujero no se ve igual desde todas las direcciones, ciertamente. En consecuencia, solo hay un componente de momento angular conservado: el componente z.
Puede resultarle extraño que yo diría que hay un momento angular conservado sobre el eje z, porque una partícula de prueba inicialmente estacionaria comenzaría a girar alrededor del eje z. Tienes que imaginar que la partícula tiene algún “momento angular potencial” cuando está lejos del agujero, y cuando cae, se convierte en “momento angular cinético”. La suma de los dos se conserva. Sin embargo, los otros componentes del momento angular no pueden ser “rescatados” de esta manera. Simplemente no hay ninguna cantidad conservada que podamos identificar razonablemente como momento angular sobre el eje x o y.
