¿Las funciones están limitadas en su capacidad para retratar con precisión la realidad?

Sr. Graham:

Una función, como recuerdo, es una expresión matemática de una relación entre variables. En física, las relaciones, por ejemplo, la que existe entre la aceleración de un objeto y las fuerzas que actúan sobre él, se expresan matemáticamente como funciones. Estas relaciones son aceptadas como leyes. En otras palabras, las relaciones (funciones) son universalmente aplicables e invariantes (dentro de los dominios aceptados).

En la mayoría de las actividades de ingeniería y diseño de sistemas, los fenómenos subyacentes al “problema” son numerosos, a menudo dinámicos, a menudo complejos y a menudo interdependientes. La porción particular de tiempo y espacio subyacente al problema debe describirse matemáticamente (funcionalmente) para lograr una solución en forma matemática. Generalmente, esta descripción matemática, un modelo, necesariamente requiere simplificación. El modelo incluye las funciones y declaraciones importantes de condiciones de frontera y suposiciones, lo que permite descartar como irrelevantes o inmateriales TODAS las demás funciones.

En resumen: las funciones describen la forma en que se comporta el universo. Las funciones no tienen “limitaciones”. Los modelos, que incluyen algunas funciones y excluyen necesariamente otras, sí.

El papel típico de una función es proporcionar una representación matemática de alguna relación natural, esta relación obviamente podría provenir de cualquier disciplina de la ciencia, podría proporcionar un medio de relación, el precio de la acción a una demanda de productos básicos, una fuerza a una aplicación aceleración, o incluso una presión de fluido (sangre, por ejemplo) al estímulo aplicado, como un grito aterrador.

Para que la representación matemática de la relación sea útil, debe proporcionar algún valor al usuario, podría proporcionar un medio para predecir salidas dada una distribución de entrada definida, podría permitir la aplicación de herramientas matemáticas como el cálculo, o podría ser usado como parte de un modelo más grande de un sistema.

El valor proporcionado por la representación de la función de la relación dada aumenta si la función proporciona una estimación más precisa del proceso sobre un espacio operativo deseado, sin embargo, la precisión de la estimación se compara con la complejidad de la función, en algún momento la función se acercará a una aproximación perfecta de la respuesta del proceso pero quedará inutilizable debido a su complejidad.

Debido a la dicotomía mencionada anteriormente, las funciones útiles están limitadas en su capacidad para retratar con precisión la realidad, sin embargo, esto no se debe a las funciones, una función con términos suficientes y acceso a datos suficientes probablemente podría dar una buena representación de cualquier fenómeno. Se debe al hecho de que funciones infinitamente complejas no son necesariamente útiles.

Si. En términos más generales, cualquier representación de una cosa está limitada en su capacidad de retratar la cosa porque no es la cosa. Este hecho es una piedra angular del enfoque de Alfred Korzybski al que llamó semántica general. A menudo expresaba el concepto diciendo: “El mapa no es el territorio”.

Tenga en cuenta que no estoy tratando de minimizar la importancia del modelado matemático. Es una herramienta extremadamente valiosa en numerosas áreas de la ciencia y la ingeniería. No podríamos prescindir de él. Sin embargo, la pregunta pregunta si hay limitaciones; y ciertamente debemos reconocer que existen limitaciones, aunque a menudo pueden ser muy menores.

(Nota: aunque General Semantics hace un punto válido sobre este tema, en realidad no soy un defensor de ello en general. Korzybski era un tipo bastante pomposo que no apreciaba completamente cómo algunas de sus nociones se descomponen en un contexto puramente matemático o digital .)

Sí … pero … solo en la medida en que comprendamos la realidad y podamos describirla matemáticamente. Como se ha explicado en varias otras respuestas, esto no siempre es posible. Aquí está mi experiencia:

Tras el accidente del vuelo 191 de Delta en 1985 en Dallas, yo y algunos otros recibimos una subvención federal para diseñar un sistema anticolisión contra el clima y las aeronaves para todas las aerolíneas. Necesitábamos crear una simulación en la que pudiéramos “volar” varias aeronaves y en la que pudiéramos recrear el estallido descendente que estrelló el vuelo 191. Determinamos que necesitábamos un modelo informático de una milla cúbica de atmósfera con variables controlables típicas de la norma. predicción del tiempo. Esa era la “realidad” que necesitaba un modelo. Después de intentar hacerlo de diferentes maneras, finalmente creamos un modelo de un PIE cúbico de aire y luego lo repetimos por cada pie cúbico en una milla cúbica. Nuestra realidad era tan precisa como podía definirse hasta un pie cúbico. Una resolución similar en una imagen digital solo es precisa hasta cada píxel individual.

Esto es, por cierto, exactamente cómo funcionan todos los modelos de análisis del clima y el clima hoy en día, pero algunos de ellos usan metros cúbicos y otros usan kilómetros cúbicos. Nuestras funciones de realidad NO incluyeron algunas cosas que sabíamos, como la fricción entre las moléculas de aire y el avión y la fricción entre el aire y la tierra. Sin embargo, fue lo suficientemente bueno para nuestro estudio.

No, no las funciones o los gráficos, sino nuestra capacidad para trabajar con ellos. Las funciones y los gráficos pueden representar lo que desee, incluso si necesita definir el valor de la función específica para puntos infinitos. La cuestión es que necesitamos trabajar con funciones “buenas”. ¿Qué es una función “buena”? Bueno, preferimos funciones diferenciables y, si es posible, no construidas con una serie infinita, etc. En física es muy común, prácticamente integrado en su núcleo, trabajar con simplificaciones / aproximaciones. La palabra clave allí es trabajo . Es nuestra capacidad, no las funciones, lo que nos limita. Eso se aplica también a la ingeniería, tal vez incluso más. Por eso tenemos física estadística; somos incapaces de describir, por ejemplo, un gas directamente de las ecuaciones que describen el comportamiento de sus partículas, todas [matemáticas] 10 ^ {23} [/ matemáticas].

Dicho esto, podemos acercarnos mucho (en algunos casos, arbitrariamente) a la solución o comportamiento “exacto”, siempre que, por supuesto, en algunos casos no haya una predicción exacta disponible (ver la mecánica cuántica, por ejemplo).

Sí, las funciones son una versión simplificada y perfeccionista de la realidad. Cada vez que realice mediciones experimentales, si su función y las mediciones son correctas, sus puntos estarán en un sobre alrededor de la función que los describe. utilizando estos puntos, desarrolla caracterizaciones de error estadístico de su modelo, ya que necesita la función para poder hacer cálculos y extrapolar fuera de su rango medido, etc. No debe incluir problemas lógicos, pero su valor observado en realidad debe estar dentro del rango definido por el valor predicho por su función +/- error máximo aceptable. Si su valor está fuera de este rango, su modelo no es lo suficientemente bueno o la máquina / experimento, etc. necesita algún mantenimiento / reparación / rediseño.

Es inconcebible que llegue a cualquier parte del mundo de Física e Ingeniería sin funciones que describan el comportamiento esperado, o en algunos casos sin tablas de ingeniería que son valores medidos experimentalmente para varias cosas. no podría planear nada, hacer ningún dibujo, plan o plano.

Considere la ecuación para una bola que cae.

Si la pelota comienza en reposo, la distancia caída es dada por

[matemáticas] s = 1/2 gt ​​^ 2 [/ matemáticas]

Esta ecuación tiene varios supuestos diferentes, cada uno con su propia fuente de error. Suponemos que …

1. se aplica la mecánica newtoniana. Sabemos de la relatividad de Einstein. y sabemos que el error es pequeño.
2. Conocemos la gravedad con precisión y que es constante. De nuevo errores insignificantes.
3. la gravedad terrestre es la única fuerza, descuidando la resistencia del aire y cualquier otra cosa, por ejemplo, el viento solar, la atracción del sol y la luna.
4. Podemos medir la posición inicial y la velocidad con una precisión perfecta.
5. que el universo se comporta de manera consistente, y que el mismo valor (masa) debe usarse tanto para la fuerza gravitatoria como para la aceleración (no es cierto, por ejemplo, con el magnetismo) Esta es la suposición principal: consistencia, posición, tiempo, etc. y de esto estamos asumiendo que no hay milagros en juego.
6. Podemos ignorar las fluctuaciones cuánticas

Si intentamos dar cuenta de todos estos efectos, tenemos una ecuación más precisa, pero es tan complicada que no podemos resolverla. Este es el enfoque teórico.

En cambio, supongamos que no sabíamos nada acerca de muchos de estos efectos y solo queríamos predecir dónde aterrizaría una bala de cañón. La ecuación es un poco más complicada que la que elegí, se aplican los mismos supuestos y el único efecto significativo es la resistencia al aire. pero supongamos que no sabemos cómo explicar la resistencia del aire. Entonces, en ese caso, es posible que necesitemos formar la ecuación (función o gráfico) de una manera diferente. Recopilamos muchos datos de muchas observaciones e intentamos dibujar una línea suave a través de todos los puntos de datos. Este es un enfoque heurístico, más que teórico.

Aquí no podemos cuantificar los errores como lo hicimos antes, pero algunas técnicas estadísticas pueden ayudar. Las funciones de este tipo a menudo se usan en el análisis de tendencias. Y aquí tenemos la mayor causa de error; Los gráficos de este tipo se ajustan a los datos que tenemos (aproximadamente), pero en general no sabemos si hay algún factor especial que se aplique a nuestras observaciones, que no se aplicará a nuestras predicciones. Y así, hay errores no cuantificables que pueden ser catastróficos.

El pronóstico del tiempo utiliza principalmente el primer enfoque (teórico). El pronóstico económico utiliza principalmente el segundo enfoque (heurístico).

gracias por el A2A, aunque creo que esta pregunta probablemente podría ser respondida por un matemático o un físico

Voy con ‘No, las funciones no están limitadas en su capacidad para retratar la realidad’. La única limitación sería la comprensión del hombre de la realidad para representarla con la suficiente precisión en las funciones y / o nuestras habilidades matemáticas (esta en menor medida, pero la agrego porque es un “no sabemos lo que no sabemos ‘algo así)

Esta es realmente una de las cosas interesantes de las funciones es que una función puede ser cualquier cosa que hagamos que sea.

Este es también el concepto detrás de la simulación. Usamos funciones para imitar la realidad de modo que podamos usar medios predictivos para el análisis en lugar de medios reactivos.

Yo diría que sí. Considere la función 1 + 1 = 2.

Mi sala de estar tiene 1 mecedora y 1 silla de comedor. Puedo contarlos como 2 sillas: 1 + 1 = 2. Pero no puedo contarlos como 2 mecedoras; los objetos comparten atributos de “silla”, pero difieren en otras formas. En realidad, son objetos independientes, diferentes y únicos: cuando digo “2 sillas” me refiero a “dos objetos que comparten las propiedades de la categoría ‘silla’; las propiedades que no comparten las ignoraré”.

Incluso si las 2 sillas fueran “idénticas” (ambas mecedoras blancas), todos los átomos en una silla son diferentes de los átomos en la otra silla. Entonces, nuevamente, tenemos que ignorar ciertas propiedades de estos objetos únicos y diferentes para contarlos como “2 sillas”.

¿Puedo contar electrones? Los electrones “2” pueden tener la misma masa, carga y energía, aparentemente idénticos. Pero tengo que ignorar sus coordenadas de espacio-tiempo (una está aquí, otra está allá) … y dado que un electrón * es * una distorsión en el espacio-tiempo en lugar de una bola en el espacio vacío, los electrones de los cables espacio-temporales son un atributo inseparable del electrón. Una es esta porción de espacio-tiempo distorsionada, y otra es una porción diferente de espacio-tiempo distorsionada. Contar electrones es como contar sillas: digo “dos electrones que comparten ciertas propiedades; ciertas propiedades (coordenadas espacio-temporales) las ignoraré”.

Entonces, de hecho, 2 de CUALQUIER COSA es una abstracción. Tenemos que ignorar el hecho de que cada entidad en el Universo es absolutamente única: una porción de espacio-tiempo distorsionada diferente de todas las demás. Y si 1 + 1 = 2 no es una representación precisa de la realidad, entonces todas las matemáticas que dependen de ella también lo son.

Gráficos, y hay dos tipos en matemáticas,

Gráfica de una función

Teoría de grafos

Son un medio de representar cosas. Las limitaciones ocurren en su interacción con nosotros en lugar de ser una propiedad innata de ellos.

Al igual que usted pregunta: ” ¿Las palabras en inglés tienen una capacidad limitada para representar con precisión la realidad?” , Debo decir que un gráfico, inglés, símbolos, etc. pueden representar cualquier cosa una vez que hayamos averiguado cómo usarlos.

Todavía no lo hemos logrado completamente para ninguna de estas representaciones en el caso del amor, la ira, etc.

Todas las representaciones tienen un conjunto de ideas para las cuales son las mejores representaciones y otro conjunto donde son la peor representación. Es solo una cuestión de encontrar una representación de las ideas que tienes o incluso, como Feynman inventando una;)

La pregunta es “¿Están las funciones limitadas en su capacidad para retratar con precisión la realidad?”

Para abordar la cuestión, colocaré las funciones en un contexto más amplio de la ciencia y la descripción y explicación de los fenómenos naturales. Esto será efectivo para responder la pregunta específica, así como una pregunta similar sobre el contexto más amplio.

Comenzaré con un ejemplo de la mecánica newtoniana (sí, ha sido reemplazado por la mecánica cuántica y relativista, pero es lo suficientemente bueno para los puntos que quiero hacer).

En la mecánica de Newton, las funciones se pueden usar para describir movimientos. Por otro lado, la descripción o representación de la realidad a un nivel más profundo es a través de las Leyes de movimiento de Newton que, para las partículas, pueden expresarse como ecuaciones diferenciales ordinarias. Así, las funciones por sí mismas no retratan o describen completamente la realidad tal como la entendemos en física. Son parte de la representación pero se complementan con ecuaciones (al menos). El uso de funciones describe las entidades fundamentales y las ecuaciones describen su comportamiento dinámico.

La pregunta tiene otro significado que bien puede ser el significado deseado. Es: cuán precisas son las funciones para la descripción. Pero la pregunta puede estar incrustada en la pregunta más amplia: ¿cuán precisas son nuestras leyes científicas / modelos matemáticos como representaciones de la realidad ? ¿Y cuán precisos pueden ser? ¿Hay algún límite final ?

Creo que es bastante obvio que nuestras leyes actuales de la física (relatividad general y teoría del campo cuántico) no son el “fin del camino”. Obviamente estas teorías tienen límites.

¿Pero hay algún límite final? Creo que la pregunta está abierta. Si el universo empírico como lo conocemos es esencialmente o incluso más o menos como todo el universo, entonces puede que no haya límites para el enfoque actual a través de funciones y leyes. Es decir, en lo que respecta a ellos, dado que son parte del enfoque, no hay límites en la representación de la función (sí, eso está yendo por las ramas; debo decir que podemos descubrir que nuestra función – el paradigma de la ecuación puede cambiar fuera a no tener límites).

Por otro lado, considere la pregunta: ¿Cuál es el origen de nuestras leyes, es decir, del universo observado y sus patrones ? Por supuesto, la ciencia aún no tiene respuestas. Pero es completamente posible que los orígenes provengan de un contexto en el que la representación de la función – ecuación (descripción – explicación) se descompone. Podría desglosarse para explicación porque no hay patrones suficientes. Podría descomponerse para ‘funciones’ porque la realidad no está suficientemente determinada. ¿Debe ocurrir este colapso? El siguiente párrafo tiene algunas ideas sobre esta cuestión.

Algunas de las otras respuestas abordan la pregunta considerando la adecuación del lenguaje para capturar la realidad. Ese es un enfoque útil para los problemas. Una pregunta interesante es si el lenguaje sería adecuado para el fondo hipotético del párrafo anterior. Seguramente, dado que la descripción matemática se puede ver como una forma de lenguaje, no todo el lenguaje se compraría en segundo plano. Sin embargo, la frase “el universo” se referiría tanto a lo conocido como a lo desconocido, incluido el fondo. Sería una cuestión de tosquedad de la descripción. Entonces, una pregunta interesante sería si existe un nivel de precisión de la descripción que sea útil pero que sea lo suficientemente grueso como para ser perfecto. Las funciones son – las matemáticas son – simbólicas, como lo es el lenguaje (las matemáticas pueden verse como lenguaje en uso). La representación simbólica contrasta con el conocimiento intuitivo. La pregunta sobre los límites de las matemáticas es una pregunta sobre los límites de la representación simbólica y su uso. Para algunas reflexiones sobre estos temas, vea el ensayo vinculado en el párrafo final, pero a continuación.

Resumen. Si nuestros paradigmas actuales de física son los paradigmas últimos, entonces no hay límites (por supuesto, llegar a lo último puede estar más allá de nuestra capacidad). Por otro lado, si los paradigmas actuales no son definitivos, entonces los paradigmas de función o ecuación de función pueden ser inadecuados y, por lo tanto, ni siquiera dignos de ser descritos como de ‘precisión limitada’.

Nota. Voy a arriesgarme aquí, pero espero que nuestros paradigmas modernos estén lejos de ser definitivos. Pero esto no está exento de justificación: para mis pensamientos, si está interesado, vea mi ensayo sobre el ser . Comentario. (1) El ensayo es un intento de ir más allá de la ciencia pero de ser consistente con lo que es válido en la ciencia. (2) El ensayo puede resultar difícil de leer.

Gracias por pedirme que responda esta pregunta.

Depende de cómo defina los términos. Funciones, como objetos matemáticos puros. son realmente muy buenos para representar al mundo. No son el final de todas las matemáticas, pero pueden hacer un buen trabajo de lo que hemos necesitado hasta ahora.

Sin embargo, sospecho que tienen límites. No me sorprendería en absoluto.

En cuanto a los gráficos, bueno, suponiendo que se está hablando de las representaciones físicas de las funciones, son muy limitadas en cómo representan la realidad, al igual que todo lo demás. Los gráficos son, ante todo, una herramienta y, como herramienta, enfrentan las mismas limitaciones que todos los objetos del mundo real.

Las funciones matemáticas solo expresan una cosa: valores. Las cosas que no son cuantificables, o al menos no se entienden en términos de cantidades, no pueden ser expresadas por las matemáticas. Un ejemplo es una teoría filosófica. Casi no hay teorías filosóficas que se reduzcan a las matemáticas. Y lo mismo es el caso de las teorías psicológicas o históricas en su mayor parte. Las matemáticas a veces describen algunos detalles importantes de una manera que te atrapa, pero eso es en parte una presentación, no lo que las matemáticas en sí están haciendo.

En cuanto a las funciones en un sentido más general, los modos o funciones son una vista potencial. Pero hay al menos otros dos: sistemas y valores éticos o estéticos. Los modos describen lo que elegimos hacer en el mundo y se entienden de manera individual y social. Los valores están relacionados con lo que es bueno de una cosa en particular, por limitada o generalista. Los sistemas, por otro lado, describen organizaciones y procesos, ya sean perfectos o imperfectos, y pueden ser objetos u observaciones intuitivas sobre patrones en la experiencia y otras categorías.

Estas descripciones de “en qué consisten las funciones” muestran cuáles son las condiciones ideales para realizar una función.

Sí, son muy limitados. Hay un número prácticamente infinito de cuerpos en el universo, todos interactuando prácticamente al mismo tiempo. No podemos medir ni siquiera una pequeña fracción de ellos en un momento dado. El principio de incertidumbre de Heisenberg nos dice que ni siquiera podemos medir exactamente el impulso y la posición de una sola partícula. Así que hacemos modelos e intentamos verificar la precisión del modelo con una cierta tolerancia.

Pero, solo por diversión, digamos que podríamos. Incluso si pudiéramos modelar exactamente el número prácticamente infinito de interacciones como variables matemáticas, las técnicas matemáticas que utilizamos nos arruinarán. Considere la serie de Taylor. Sabemos que es una serie infinita, pero usamos la versión truncada todo el tiempo en técnicas de ingeniería. ¿Series de Fourier? La misma cosa. No importa cuántos términos usemos, seguimos descartando un número infinito de términos.

Incluso si pudiéramos procesar un número infinito de términos con nuestra computadora, la computadora solo puede tener una cantidad finita de precisión cuando se trata de valores de coma flotante. No importa cuántos dígitos tengamos, todavía estamos tirando un número infinito de dígitos. Esto hace que incluso nuestras operaciones matemáticas sean propensas a errores.

Simplemente no tenemos las técnicas matemáticas adecuadas para obtener una solución de forma cerrada para todo. Podemos obtener soluciones para un montón de casos especiales, y a veces eso es lo suficientemente bueno para trabajar a nivel de ingeniería. Para una solución práctica, siempre tendremos que conformarnos con lo suficientemente bueno.

Si por “función” te refieres a “matemáticas en general”, entonces no, no conozco ninguna limitación. Puede haber uno, pero no veo ninguna razón para esperar que haya uno.

Las “funciones”, como término matemático estricto, son bastante limitadas. Pero los matemáticos han generalizado la noción de una “función” mucho más allá de la versión que se enseña en la escuela secundaria, y estas herramientas mucho más poderosas ya se utilizan a diario. Es casi seguro que encontraremos usos para nuevas herramientas matemáticas, algunas ya conocidas y consideradas inútiles, otras totalmente irreflexivas.

Las funciones no siempre pretenden representar la realidad a menos que acepte que las matemáticas son parte de la realidad, en cuyo caso, las funciones ya son parte de la realidad, no una representación de la misma. Hay muchas más funciones que tienen poco que ver con las ciencias naturales o la ingeniería, pero que tienen papeles importantes que desempeñar en varios campos de las matemáticas.

Pero supongo que probablemente esté preguntando sobre el pequeño subconjunto de funciones relacionadas con las ciencias naturales o la ingeniería. Muchas veces, están modelando o describiendo situaciones ideales. En una gran cantidad de áreas significativas, son extremadamente útiles y precisas, mientras que en otras, solo sirven en trazos bastante amplios.

No estoy de acuerdo con su suposición de que los gráficos y las funciones están destinados a “retratar la realidad”. Las funciones y los gráficos están destinados a proporcionar una imagen visual o rápida de los datos que permiten comprender un concepto de una manera más eficiente o más vívida. Los gráficos pueden verse notablemente diferentes solo en función de la ubicación subjetiva de las variables.

En Neuropsicología, a menudo uso gráficos con pacientes, para ayudarlos a comprender dónde caen las diferentes capacidades cognitivas en comparación con las distribuciones normativas. Y los uso conmigo mismo cuando interpreto los datos, porque me da una idea muy rápida de las fortalezas y debilidades relativas en los patrones de dificultades que ayudan con el diagnóstico. Pero es un complemento de mi interpretación e hipótesis sobre los datos de un paciente, y solo nace de mi competencia para comprender una multitud sobre esos datos en sí, como cómo se obtuvieron, cuántas de las distribuciones son normales, advertencias a la nivel de previsibilidad, y solo en combinación con años de capacitación en factores clínicos que pueden emular datos que adquieren una apariencia determinada.

Hay dos formas de responder a su pregunta, creo.

Primero, es la realidad que es en la mayoría de las partes de la física el factor limitante. Los modelos pueden ser complejos arbitrarios con innumerables soluciones y variaciones que no son muy físicas. Es su trabajo como físico elegir entre todos los modelos posibles los que describen con precisión la naturaleza.

En segundo lugar, ¿hay partes de la naturaleza para las cuales el aparato matemático que se conoce hoy en día no proporciona un buen ajuste / herramienta para describir la realidad? ¿Se requieren nuevas matemáticas para encontrar el último modelo de la naturaleza? No sé qué son las nuevas matemáticas, pero el número de medallas de campo otorgadas a los físicos da una idea de lo que se requiere en la búsqueda de una teoría definitiva.

No, y no tiene sentido que algo no pueda ser modelado por una función, aunque tal vez no sea útil. Si algo no puede ser modelado por una función, entonces eso significa que es impredecible, podemos usar funciones estáticas para modelar algo que tiene un elemento impredecible, la física cuántica se basa en estadísticas y, por lo tanto, las funciones dan una probabilidad de diferentes resultados, si algo es completamente al azar, entonces la función no es muy interesante. Las funciones tampoco están limitadas por el hecho de que conozcamos un posible mecanismo para explicar la función, podemos determinar empíricamente una función, y si no podemos determinarla empíricamente, significa que simplemente no sabemos qué es, no que una función pueda no existe.