Comenzaría con por qué los matemáticos necesitaban inventar números imaginarios. Lo hicieron porque la ecuación
[matemáticas] x ^ 2 = -k [/ matemáticas]
donde [math] k [/ math] es cualquier número real positivo no tiene ninguna solución en la recta numérica real. Entonces, para resolver problemas con este tipo de ecuaciones (¡que aparecen en el mundo real!), Los matemáticos inventaron la unidad imaginaria [matemáticas] i [/ matemáticas] y la definieron de la siguiente manera
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[matemáticas] i \ equiv \ sqrt {-1}. [/ matemáticas]
Por lo tanto, la solución a la ecuación anterior sería [math] \ sqrt {k} \ cdot i [/ math] o [math] – \ sqrt {k} \ cdot i [/ math]. Por eso es que los números imaginarios son significativos.
Ahora entremos en números complejos. Si agregamos un número real a un número imaginario, obtenemos esta nueva entidad llamada número complejo. Hay dos formas de representarlo algún número complejo [matemática] c [/ matemática]
[matemáticas] c = a + bi \ text {y} c = re ^ {i \ theta} [/ matemáticas]
donde [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] r [/ matemática] pueden ser cualquier número real (generalmente el estándar es mantener [matemática] r [/ matemática] positiva) , y [matemáticas] \ theta \ en [0,2 \ pi) [/ matemáticas].
La primera forma es muy intuitiva. Se puede considerar como un vector bidimensional con los vectores unitarios 1 y [math] i [/ math]. La parte real, [matemática] a [/ matemática], representa el componente real del vector, y la parte imaginaria, [matemática] b [/ matemática], representa la componente imaginaria del vector. Entonces, allí puedes ver que los números complejos pueden representar vectores 2-d.
La segunda forma es, en mi opinión, mucho más útil. Proviene de la fórmula de Euler (una de, si no las fórmulas más bellas de las matemáticas)
[matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta. [/ matemáticas]
Esta fórmula relaciona los componentes reales e imaginarios de un número complejo con una rotación en el plano complejo. El radio de esa rotación en términos de la primera forma es
[matemáticas] r = | \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} | [/ matemáticas]
y el ángulo de rotación viene dado por
[matemáticas] \ theta = \ arctan \ left (\ frac {b} {a} \ right) ^ *. [/ math]
Como puede ver, los números complejos se pueden usar para describir la rotación sobre un plano. Esto es realmente muy útil para los físicos cuando resuelven problemas en mecánica cuántica y electrodinámica.
*: Dado que [math] \ arctan [/ math] solo se asigna al rango [math] (- \ pi, \ pi) [/ math] también debe tener en cuenta el signo de las partes reales e imaginarias al determinar el ángulo.
Fuente: Actualmente estoy desarrollando una aplicación web interactiva destinada a explicar números complejos. Si alguien está interesado en las pruebas beta, ¡hágamelo saber!
