La analogía no se sostiene. El conmutador entre esas dos variables es en realidad cero, aunque es complicado averiguar por qué.
La razón es que no tiene un número concreto [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] que está midiendo. En cambio, tiene [math] \ phi [/ math] restringido a algún dominio, por ejemplo, [math] [0,2 \ pi] [/ math]. (¡Ya que estás trabajando en una variedad, técnicamente hablando, la coordenada no es un número que puedas sacar de contexto!)
Llamemos a esta cantidad, el ángulo restringido de dominio, [math] \ bar \ phi [/ math], y denotemos el círculo real por [math] C [/ math], con la medida de integración [math] d \ phi [/ math ] y derivada a su alrededor [math] \ partial_ \ phi [/ math]. (¡Ambos están bien definidos incluso en una variedad más general!)
- Cálculo de variaciones: ¿Qué es "la acción" de un camino, en términos intuitivos?
- ¿Es el Principio de incertidumbre de Heisenberg una verdad fundamental del universo, o simplemente somos incapaces de medir tanto la posición como el momento?
- ¿Cuál fue la opinión de Tesla sobre la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica de Einstein?
- ¿Cuál es la representación matemática completa de un fotón libre?
- ¿Hay alguna manera fácil de abrir un agujero de gusano?
Ahora, vamos a conmutar ese conmutador:
[matemáticas] \ langle [J, \ bar \ phi] \ rangle \ sim \ int_C \ psi ^ * (\ partial_ \ phi (\ bar \ phi \ psi) – \ bar \ phi \ partial_ \ phi (\ psi)) d \ phi = \ int_C \ psi ^ * \ psi \ partial_ \ phi \ bar \ phi d \ phi [/ math]
Ahora, tomemos su ejemplo, por razones de argumento, en el que [math] \ psi ^ * \ psi = 1 [/ math]. Ahora, tiene el cambio en [math] \ bar {\ phi} [/ math] evaluado a medida que recorre el círculo. SIN EMBARGO: debe incluir el salto hacia abajo desde [matemática] 2 \ pi [/ matemática] a [matemática] 0 [/ matemática] en esta integral, ¡y esta integral es en realidad cero!
De manera equivalente, [matemática] \ partial_ \ phi \ bar {\ phi} = 1-2 \ pi \ delta (\ bar \ phi) [/ math]. (¡Y la segunda parte importa!)
Por lo tanto, el momento angular y la posición tienen un conmutador cero para su estado de interés, ¡y no esperamos que satisfagan ningún principio de incertidumbre (no trivial) para los estados que considera, según la formulación más general de HUP!
