Cálculo de variaciones: ¿Qué es “la acción” de un camino, en términos intuitivos?

Para mí, la explicación intuitiva más simple es ‘cuánto está sucediendo’: literalmente mide la cantidad de acción que implicaría un posible futuro para el sistema.

Por ejemplo, en una cinética de potencial pantanoso: lagrangiana potencial, puede pensar en el principio de Hamilton de menor acción como el sistema que toma el camino que se ‘equilibra’ moviéndose mucho (alta energía cinética) con fuerzas de resistencia (alta energía potencial )

Del mismo modo, el Lagrangiano puede verse como las diferentes cosas que le pueden pasar a un sistema: la partícula puede ser movida o arrastrada por diversas fuerzas, o emitir energía en un campo EM, etc.
Esto se vuelve más concreto cuando ingresas en la formulación integral de la teoría de campos cuánticos, y la acción se convierte en la fase de la amplitud cuántica de los campos que siguen una determinada trayectoria ( no entres en pánico si no entiendes el último bit ). En esta formulación, el lagrangiano se convierte en un conjunto de operadores que cambian el campo (por ejemplo, tratando de hacer rebotar un fotón de un electrón), que luego se aplican una y otra vez en cada punto del espacio en cada momento en el tiempo.

En cuanto a las unidades, la energía puede entenderse como una medida de cuánto está cambiando un sistema; una vez más, esto se vuelve más concreto esta vez en la mecánica cuántica, en donde la energía es, literalmente, cuánto cambia el estado de una partícula con el tiempo (veces h-bar, etc. .) Por lo tanto, tiene mucho sentido que el lagrangiano esté en unidades de energía. Del mismo modo, si la tasa de cosas que suceden tiene unidades de energía, cualquiera que haya realizado el cálculo más básico sabría que el cambio total es la integral de la tasa de cambio, que da unidades de energía x tiempo

NB : la única leve complejidad es que no todas las soluciones a las ecuaciones de movimiento no son mínimos o incluso máximos (que pueden convertirse en mínimos con un signo menos sin importancia) de la acción, sino que son “puntos de silla”; esto es un poco más difícil de entender en términos de ‘el camino menos difícil entre dos estados’, pero bueno, no puedes ganarlos a todos