El acoplamiento de la órbita giratoria es un fenómeno por el cual los niveles de energía de los átomos similares al hidrógeno difieren de la predicción de primer orden de la ecuación de Schrödinger (una derivación de dicha predicción se puede encontrar aquí: la respuesta de Zane Jakobs a los científicos usa espectros de emisión para confirmar la presencia de un elemento en materiales de composición desconocida. ¿Por qué es esto posible?) porque su momento angular hace que interactúen con el campo magnético en un átomo.
Hay dos formas principales de derivar el cambio de energía del acoplamiento giro-órbita: puede usar la teoría de perturbación o puede resolver la ecuación de Dirac (la ecuación de Schrödinger relativista) para hidrógeno. El último de estos es muy difícil si no tienes una sólida formación tanto en mecánica cuántica como en relatividad especial, por lo que lo haremos con la teoría de la perturbación.
Hay dos contribuyentes principales al acoplamiento espín-órbita en la teoría de la perturbación: la energía de interacción Larmor y la energía de interacción Thomas.
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Comenzamos observando que, para una partícula con momento magnético [math] \ mathbf {m} [/ math] en un campo magnético [math] \ mathbf {B} [/ math], la energía (que equivale a la energía de Larmor cambiar aquí) es
[matemáticas] \ Delta E = – \ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {B} [/ math]
Esto significa que tenemos que calcular tanto el campo magnético como el momento magnético electrónico (de primer orden). Comencemos con el momento magnético. Esto es realmente bastante simple. El electrón tiene un vector de momento angular de giro [math] \ mathbf {S} [/ math], que conduce a un momento magnético (si olvida cómo calcular los momentos magnéticos, cualquier libro de texto introductorio de electromagnetismo debe tener una explicación) de
[math] \ mathbf {m} = – g \ dfrac {e} {2 m_e} \ mathbf {S} [/ math]
Donde [math] e [/ math] es la carga de electrones, [math] m_e [/ math] es la masa de electrones, y [math] g [/ math] es el factor g de giro de electrones (nota: este NO es el igual que el factor g de Landè, pero es similar). Eso es bastante fácil, así que ahora calculemos la intensidad del campo magnético.
Vamos a hacer algunas suposiciones extrañas por un minuto aquí que no son ciertas, pero están lo suficientemente cerca de ser verdad como para que no importen o no tengan un impacto significativo en la respuesta. Primero, calculamos el campo magnético en el marco del electrón (no hay campo magnético en el marco del laboratorio donde el átomo está en reposo, pero sí hay electrones en movimiento)
[math] \ mathbf {B} = – \ dfrac {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {E}} {c ^ 2} = \ dfrac {\ mathbf {E} \ times \ mathbf {v}} {c ^ 2} [/ matemáticas]
Donde pretendemos que el marco del electrón es inercial y su velocidad es lenta ([matemática] \ gamma \ aprox 1 [/ matemática]). Ahora, el campo eléctrico es radial (no depende de la posición angular), por lo que podemos escribir
[math] \ mathbf {E} = \ dfrac {| \ mathbf {E} |} {| \ mathbf {r} |} \ mathbf {r} = \ dfrac {E} {r} \ mathbf {r} [/ matemáticas]
Combinando esto y [math] \ mathbf {p} = m_e \ mathbf {v} [/ math], tenemos
[math] \ mathbf {B} = \ dfrac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}} {m_e c ^ 2} \ dfrac {E} {r} [/ math]
Nuevamente, debido a que el campo eléctrico es radial, podemos cambiar al potencial
[matemática] \ mathbf {E} = – \ nabla V = – \ dfrac {1} {e} \ dfrac {\ parcial U} {\ parcial r} [/ matemática]
Recordando que el momento angular es
[math] \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} [/ math]
tenemos
[math] \ mathbf {B} = \ dfrac {1} {em_ec ^ 2 r} \ dfrac {\ partial U} {\ partial r} \ mathbf {L} [/ math]
Combinando las fórmulas para la energía de Larmor, el momento magnético del electrón y el campo magnético, tenemos
[matemáticas] \ Delta E_L = – \ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {B} = \ dfrac {g} {2 c ^ 2 r} \ dfrac {\ partial U} {\ partial r} \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S} [/ math]
Mirando las implicaciones de esto, puede ver por qué se llama acoplamiento de órbita giratoria. El vector de espín se puntea en el vector de momento angular orbital, lo que significa que los estados donde el espín es paralelo al momento angular orbital tienen un cambio de energía positivo (relativamente) grande, mientras que los espines antiparalelos dan un cambio de energía negativo relativamente grande. Esto produce la división en el espectro de hidrógeno, donde la predicción del nivel de energía de primer orden le da solo una línea espectral para la transición de hidrógeno (digamos) 2S a 1S, esto le da dos líneas muy cercanas entre sí (por lo que se ven como una línea si no miras con cuidado).
Sin embargo, hay otra mitad de esto, llamada la energía de interacción de Thomas. La energía de Larmor es en realidad una sobreestimación por un factor de dos: la energía de Thomas elimina la mitad de eso en el cálculo final. En realidad no calcularemos la energía de Thomas, porque si bien las matemáticas son simples, la justificación de las matemáticas no lo es. (Tiene que ver con la precesión de giro, que, especialmente en relatividad, puede complicarse bastante rápido).
De cualquier manera, esto representa las primeras correcciones relativistas a la estructura atómica, que finalmente allanó el camino para la electrodinámica cuántica, y a través de esa moderna teoría del campo cuántico.
