Suponga que [math] \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x} [/ math] tiene una discontinuidad en [math] x = x_B [/ math] en una posible discontinuidad.
Si [math] \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x} [/ math] es constante en [math] x \ neq x_B [/ math], esto significa que la segunda derivada [math] \ frac {\ parcial ^ 2 \ psi} {\ parcial x ^ 2} \ sim \ delta (x – x_B) [/ math] donde [math] \ delta (x – x_B) [/ math] es la función delta definida de manera tal que para arbitraria función [matemáticas] f (x) [/ matemáticas],
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ delta (x – x_B) = \ int_ {x_B – \ epsilon} ^ {x_B + \ epsilon} f (x) \ delta (x – x_B) = f (x_B) [/ matemáticas]
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Por lo tanto, integrando la ecuación de Schrodinger,
[matemáticas] – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ int_ {x_B – \ epsilon} ^ {x_B + \ epsilon} dx \ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial x ^ 2} = \ int_ {x_B – \ epsilon} ^ {x_B + \ epsilon} [E – V (x)] \ psi dx [/ math]
[matemáticas] – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ int_ {x_B – \ epsilon} ^ {x_B + \ epsilon} dx \ delta (x – x_B) = – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m } = \ int_ {x_B – \ epsilon} ^ {x_B + \ epsilon} [E – V (x)] \ psi dx [/ math]
Para alguna discontinuidad finita en [matemática] V (x) [/ matemática], la integral del lado derecho converge en alguna:
[matemáticas] \ int_ {x_B – \ epsilon} ^ {x_B + \ epsilon} [E – V (x)] \ psi dx = \ epsilon \ cdot C [/ math]
para alguna constante [matemática] C [/ matemática]. Si tomamos el límite [math] \ epsilon \ a 0 [/ math], entonces tenemos:
[matemáticas] – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} = \ lim _ {\ epsilon \ a 0} \ epsilon \ cdot C = 0 [/ matemáticas]
Lo cual es una contradicción. Por lo tanto, la primera derivada [math] \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x} [/ math] tiene que ser continua.
Tenga en cuenta que cuando [math] V (x) [/ math] tiene una discontinuidad infinita, entonces la integral del lado derecho puede no converger a la forma anterior y se puede evitar la contradicción.
