En mecánica cuántica, existen esencialmente dos tipos de evolución temporal. Hay una evolución temporal continua y efectivamente determinista del tipo descrito por la ecuación de Schrodinger, y existe el colapso discontinuo de la función de onda, donde una partícula que anteriormente estaba en una superposición de estados “colapsa” en un estado posible. Entonces, por ejemplo, podría ser el caso de que un electrón sea una combinación de tener energía A, B y C. La ecuación de Schrodinger describirá cómo cambiará esta partícula con el tiempo, pero lo que no describirá es lo que sucede en el momento en que se hace una observación, y de repente el electrón tiene energía A, B o C.
¿Cómo podemos describir esto matemáticamente? Bueno, el espacio de posibles estados del sistema debe ser un espacio vectorial: debemos ser capaces de tomar combinaciones lineales para poder describir superposiciones.
Además, también necesitamos una noción de ortogonalidad , que puede describir de la siguiente manera: dos estados [matemática] \ psi_1 [/ matemática] y [matemática] \ psi_2 [/ matemática] son ortogonales si hay alguna colección de cantidades observables que podríamos asociarnos con estos estados (energía, momento, posición, etc.), de modo que nunca mediremos estos dos estados como si tuvieran los mismos valores de todos estos observables. Entonces, por ejemplo, si [math] \ psi_1 [/ math] podría medirse como ubicado dentro de una caja con energía A, entonces [math] \ psi_2 [/ math] no se medirá como si estuviera dentro de esa caja o lo hará medirse para tener alguna otra energía B.
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Podemos ampliar esta noción de ortogonalidad y producir un producto interno en nuestro espacio, que denominaremos [math] \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle [/ math] (en lo que uno debería pensar como una generalización del producto escalar) ) Esto significa que podemos pensar en nuestro espacio de estado como un espacio de Hilbert.
Ahora podemos describir el colapso de la función de onda de manera matemática. Cuando la función de onda colapsa, todos los componentes de la función de onda correspondientes a estados inconsistentes con la observación desaparecen. En otras palabras, tomamos una proyección ortogonal del estado [math] \ psi [/ math] en el subespacio que consiste en estados que son consistentes con la medición. Matemáticamente, describimos esto como la aplicación de un operador de proyección [matemática] P [/ matemática] de modo que [matemática] P [/ matemática] restringida al subespacio en cuestión es solo la identidad (no cambia nada), pero aplasta todos los vectores ortogonales a este subespacio a cero.
¿Qué significa esto? Significa que para cualquier cantidad observable [matemática] A [/ matemática], y cualquier rango de valores [matemática] R [/ matemática] que esta cantidad podría tomar (entonces, por ejemplo, podría ser la energía, y [matemática] R [/ matemática] podría ser el rango entre 1 eV y 3 eV), podemos asignar un operador de proyección [matemática] P ^ A (R) [/ matemática] que interpretamos como el operador de proyección que aplicaríamos al estado si medimos el observable [math] A [/ math] en el rango [math] R [/ math].
Puede verificar que esta familia de operadores de proyección satisfaga las condiciones para lo que se llama una medida con valor de proyección. Esta es una construcción matemática original: podemos integrarnos con respecto a esta medida, pero en lugar de obtener un número real o complejo, obtendremos un operador lineal.
En particular, podríamos considerar el siguiente operador:
[matemáticas] A = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ lambda dP ^ A (\ lambda) [/ matemáticas]
cuál es el operador que obtenemos al integrar la función de identidad [math] id (\ lambda) = \ lambda [/ math] con respecto a esta medida con valor de proyección.
Está bien. A priori, parece que hemos definido algún objeto matemático arbitrario con poca relación con la realidad. ¡Pero ese no es el caso!
Este operador tiene algunas propiedades interesantes. Matemáticamente, probablemente lo más destacado es que es un operador hermitiano (o, como diría un matemático, es un operador autoadjunto). Físicamente, probablemente el hecho más interesante sobre este operador es que [math] \ langle \ psi, A \ psi \ rangle [/ math] da el valor esperado del observable [math] A [/ math] si estamos midiendo un sistema eso está en un estado [matemáticas] \ psi [/ matemáticas]!
(Podría repasar los detalles minuciosos del operador valorado por proyección y motivar esta observación matemáticamente; sin embargo, esto requeriría algunos antecedentes en análisis funcional para comprenderlo adecuadamente).
De hecho, este operador hermitiano [matemática] A [/ matemática] captura toda la información física sobre la observable [matemática] A [/ matemática] (por eso les he dado el mismo nombre). De hecho, según el Teorema espectral, uno puede reconstruir la medida con valor de proyección [matemática] P ^ A [/ matemática] del operador [matemática] A [/ matemática], por lo que no perdemos ninguna información que pase de ellos a este operador y generalmente es más fácil trabajar con este operador que con una familia de operadores de proyección.
De hecho, los físicos simplemente identifican la [matemática] A [/ matemática] observable y este operador hermitiano [matemática] A [/ matemática] y dicen que son lo mismo.
