¡Interesante pregunta! No sé la respuesta con certeza, pero creo que lo siguiente tiene sentido.
Si n es 1, podemos colocar el objeto en cualquier lugar. Si n es 2, podemos colocar los objetos en los extremos opuestos de un diámetro de la esfera. Si n es 3, se pueden colocar en los vértices de un triángulo equilátero con el mismo centro que la esfera.
Y si n toma cualquiera de los valores 4,6,8,12 o 20, podríamos ubicarlos en los vértices de uno de los cinco sólidos platónicos (el tetraedro, el octaedro, el cubo, el icosaedro y el dodecaedro, respectivamente).
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El primer caso que no hemos cubierto es n = 5, lo que parece un poco más problemático. El enfoque más natural podría ser comenzar colocando objetos en los 3 vértices de un triángulo equilátero con el mismo centro que la esfera, y luego colocar los dos objetos restantes en los dos polos de la esfera más alejados del triángulo. Pero esto no está “distribuido uniformemente”: los objetos en los polos están más cerca de sus vecinos más cercanos que los otros 3 objetos. Y sin embargo, no puedo imaginar una mejor solución con 5 objetos.
El siguiente caso complicado sería n = 7. El enfoque natural aquí sería similar; coloque un objeto en cada uno de los dos polos, y luego 5 objetos espaciados uniformemente en el ecuador. Pero esta vez los objetos en los polos están ligeramente más alejados de sus vecinos más cercanos que los otros 5 objetos.
Sin embargo, si “distribuido uniformemente” significa que cada objeto está a la misma distancia de sus vecinos más cercanos, y que la disposición se ve igual desde el punto de vista de cualquiera de los objetos, entonces las soluciones n = 5 y n = 7 no No funciona y creo que la simetría nos restringiría a los sólidos platónicos, en cuyo caso puede que no haya soluciones “uniformemente distribuidas” para n = 5,7,9,10,11 …
Será interesante ver si alguien más puede sugerir soluciones para n = 5,7, etc. o demostrará más convincentemente que tales soluciones no existen.
Editar: la pregunta ahora se ha revisado para solicitar arreglos que maximicen la distancia mínima entre los objetos, en lugar de arreglos que se distribuyen de manera uniforme. En ese caso, siempre habrá al menos una solución (ya que la distancia mínima es una función acotada y continua), y la investigación mencionada por Evan Oman será aplicable. Las soluciones que mencioné para n = 1,2,3,4,5,6,7,8,12 y 20 funcionarán, y el primer caso difícil ahora será n = 9. ¿Alguien puede sugerir cómo será este arreglo?
