¡Actualmente, si! La irradiancia láser (potencia por unidad de área, a veces también llamada intensidad) es proporcional a la inversa de la distancia al cuadrado.
La idea de que la ley del cuadrado inverso no se aplica a los láseres es un error común. La única diferencia entre la reducción de la irradiancia de campo lejano de las fuentes puntuales frente a los láseres es un multiplicador constante en el frente. La razón por la cual las personas se dejan engañar al pensar que la ley no se aplica es porque este multiplicador es un gran número en la mayoría de los casos. Sin embargo, la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
El argumento para los láseres cuadrados inversos se puede resumir de la siguiente manera:
- Una luz de longitud de onda de 6000 A en el aire, ingresa a un medio de índice de refracción 1.5. ¿Cuál será la frecuencia y la longitud de onda de la luz en el medio?
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- La intensidad es el poder dividido por el área sobre la cual se extiende ese poder. La ley del cuadrado inverso es esencialmente una declaración de que el área aumenta a medida que la distancia al cuadrado.
- Para fuentes puntuales, el poder se extiende sobre la superficie de una esfera. El área de una esfera es [matemática] 4 \ pi r ^ 2 [/ matemática] por lo que el área aumenta a medida que [matemática] r ^ 2 [/ matemática].
- Para los láseres, el poder se extiende sobre la superficie de un punto circular. A medida que el haz se propaga, el radio de este punto (llamado w ) aumenta linealmente. El área de este lugar es [matemáticas] \ pi w ^ 2 [/ matemáticas]. Como w es proporcional a r , el área del punto también es proporcional a [math] r ^ 2 [/ math], ¡al igual que para la fuente puntual!
Ahora los detalles para quienes gustan de las matemáticas:
Definiciones
La ley del cuadrado inverso es una declaración de proporcionalidad , más que una declaración de magnitud absoluta. Es decir, solo dice que multiplicar la distancia por a dará como resultado una magnitud que es [matemática] \ frac {1} {a ^ 2} [/ matemática] tan grande. Por lo tanto, podemos mostrar que los láseres siguen la ley del cuadrado inverso al mostrar que esta proporcionalidad es válida.
Irradiación de una fuente puntual
Primero, consideremos las fuentes puntuales. Aquí, el área es el área de superficie de una esfera, [matemática] 4 \ pi r ^ 2 [/ matemática], por lo que la irradiación viene dada por:
[matemáticas] I_P = \ frac {P} {4 \ pi r ^ 2} = \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {P} {\ pi r ^ 2} [/ matemáticas]
Irradiación de un láser
A continuación, el área del punto circular del láser viene dada por:
[matemáticas] A = \ pi w ^ 2 [/ matemáticas]
Donde w es el radio de la mancha. Según la teoría del haz gaussiano, el radio del punto aumenta linealmente con la distancia después del rango de Rayleigh. Dentro del rango de Rayleigh, el tamaño del punto aún aumenta, pero sublinealmente. La gama Rayleigh viene dada por:
[matemáticas] z_R = \ frac {\ pi {w_0} ^ 2} {\ lambda} [/ matemáticas]
Donde [math] w_0 [/ math] es el radio del haz en el punto más estrecho del haz (a menudo la salida inicial del láser, o muy cerca de él) y [math] \ lambda [/ math] es la longitud de onda. Para un puntero láser típico, por ejemplo, el radio del haz es de aproximadamente 0,75 mm en su punto más estrecho y la longitud de onda es de 532 nm. Esto le da un rango de Rayleigh de:
[matemáticas] z_R = \ frac {\ pi (0.75 \ veces 10 ^ {- 3}) ^ 2} {532 \ veces 10 ^ {- 9}} \ aprox 3.3 \ text {m} [/ matemáticas]
Entonces, después de aproximadamente 3 metros, estamos en el régimen donde el radio del haz aumenta linealmente. Antes de este punto, el radio aún aumenta con la distancia; simplemente no es tan exactamente aproximado por una línea recta:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fil…
El medio ángulo de la divergencia lineal después del rango de Rayleigh viene dado por:
[matemáticas] \ frac {\ Theta} {2} = \ theta = \ frac {\ lambda} {\ pi w_0} [/ matemáticas]
Al poner todo junto, vemos que, después del rango de Rayleigh, el radio del haz w viene dado por:
[matemáticas] w = r \ tan \ theta [/ matemáticas]
donde r es la distancia de la fuente, entonces el área del punto láser es:
[matemáticas] A = \ pi w ^ 2 = \ pi (r \ tan \ theta) ^ 2 [/ matemáticas]
y así la irradiancia es:
[matemáticas] I_L = \ frac {P} {A} = \ frac {P} {\ pi (r \ tan \ theta) ^ 2} = \ frac {1} {\ tan ^ 2 \ theta} \ cdot \ frac {P} {\ pi r ^ 2} [/ matemáticas]
Conclusiones
Observe que la irradiancia láser tiene exactamente la misma forma que para una fuente puntual:
[matemáticas] I_P = \ frac {P} {4 \ pi r ^ 2} = \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {P} {\ pi r ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] I_L = \ frac {P} {\ pi (r \ tan \ theta) ^ 2} = \ frac {1} {\ tan ^ 2 \ theta} \ cdot \ frac {P} {\ pi r ^ 2 }[/matemáticas]
La única diferencia es el multiplicador constante, [math] \ frac {1} {4} [/ math] versus [math] \ frac {1} {\ tan ^ 2 \ theta} [/ math]. Para un puntero láser típico con un radio de haz inicial de 0,75 mm y una longitud de onda de 532 nm, el ángulo de divergencia ideal es:
[matemáticas] \ theta = \ frac {\ lambda} {\ pi w_0} = \ frac {532 \ times 10 ^ {- 9}} {\ pi 0.75 \ times 10 ^ {- 3}} \ aprox 0.226 \ text { mrad} [/ matemáticas]
Es probable que el ángulo de divergencia real de un puntero real sea mayor que este ideal, alrededor de 1,5 mrad (miliradios), lo que da como resultado una mayor propagación para una distancia dada.
Entonces, para este láser, el multiplicador constante es:
[matemáticas] \ frac {1} {\ tan ^ 2 0.000226} \ aproximadamente 1.96 \ veces 10 ^ 7 [/ matemáticas]
En comparación con el multiplicador de fuente puntual (0.25), es fácil ver por qué un punto láser es mucho más intenso para la misma cantidad de energía. No es porque los láseres no sigan la ley del cuadrado inverso. Esto se debe a que la direccionalidad del haz le da un gran impulso inicial de intensidad, después de lo cual se cae como el inverso de la distancia al cuadrado.
Referencias
http://www.amazing1.com/laser_po…
http://en.wikipedia.org/wiki/Gau…
http://en.wikipedia.org/wiki/Inv…
http://en.wikipedia.org/wiki/Irr…
