Teoría del caos: ¿Cuál es la diferencia entre el comportamiento caótico y el comportamiento aleatorio?

La historia corta es la siguiente. El comportamiento aleatorio no es determinista: incluso si supiera todo lo que se puede saber sobre un sistema en un momento dado con todo detalle, aún no podría predecir el estado en un momento futuro. El comportamiento caótico, por otro lado, es totalmente determinista si conoce el estado inicial con todo detalle, pero cualquier imprecisión en el estado inicial, por pequeña que sea, crece rápidamente (exponencialmente) con el tiempo.

Sistemas aleatorios

Un lanzamiento de moneda o una lotería son ejemplos de sistemas aleatorios. Puedes lanzar una moneda un millón de veces, conocer el resultado cada vez, pero no te ayudaría en absoluto a predecir el resultado del próximo lanzamiento. Del mismo modo, puede conocer el historial completo de los números que ganaron la lotería, pero no le ayudará a ganar la lotería. (Si esto suena sorprendente, vea la falacia de Gambler).

Sin embargo, es importante señalar que los sistemas aleatorios no son necesariamente completamente impredecibles. Tomemos, por ejemplo, una caminata aleatoria gaussiana, en la cual la posición de una partícula se actualiza en cada paso de tiempo mediante un pequeño desplazamiento en una dirección aleatoria, con magnitud extraída de una distribución gaussiana con desviación estándar [math] \ sigma [/ math]. Si bien es imposible predecir exactamente dónde estará la partícula después de los pasos [math] n [/ math], es posible demostrar que, con alta probabilidad, no será mucho más lejos que [math] \ sigma \ sqrt n [ /matemáticas]. Si [math] \ sigma [/ math] es pequeño, esto podría significar que realmente puede predecir dónde estará la partícula con alta precisión, a pesar de la aleatoriedad del sistema.

Para hacer esto más intuitivo, imagine a un borracho saliendo del bar a medianoche. Camina sin rumbo y no podrás saber exactamente dónde está. Sin embargo, sabiendo que camina a un paso de un paso por segundo, y suponiendo que cada paso se tome en una nueva dirección completamente aleatoria, sabes que no puede estar a más de 60 pasos (tal vez a cien pies) de distancia donde se fue.

Sistemas caóticos

Uno de los ejemplos habituales de comportamiento caótico es el mapa logístico. El estado de un sistema está representado por un número [matemático] x [/ matemático] que evoluciona en pasos de tiempo discretos. En cada paso, el estado cambia de acuerdo con
[matemáticas] x_ {n + 1} = r x_n (1-x_n) \ ,. [/ matemáticas]
Para algunos valores de [math] r [/ math], el comportamiento de [math] x_n [/ math] es relativamente simple: para grandes [math] n [/ math], [math] x_n [/ math] oscilará entre Un conjunto finito de valores. Sin embargo, para la mayoría de los valores de [math] r [/ math] más allá de aproximadamente 3.57, el comportamiento final del sistema depende en gran medida de las condiciones iniciales. Este comportamiento se resume en un diagrama de bifurcación, que se ve así para el mapa logístico:
(de Wikipedia)

Esto muestra dónde [math] x [/ math] podría terminar después de una gran cantidad de pasos en función de [math] r [/ math]. Como puede ver, mientras que para [matemática] r [/ matemática] pequeña, solo hay un par de valores asintóticos para [matemática] x [/ matemática], para [matemática] r [/ matemática] alrededor de 3.6 y mayor, [ matemáticas] x [/ matemáticas] puede estar por todas partes.

Una forma diferente de ver esto es la siguiente. A continuación se muestra una gráfica que muestra los valores de [matemáticas] x_n [/ matemáticas] para dos valores iniciales, [matemáticas] x_0 ^ {(1)} = 0.40 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_0 ^ {(2)} = 0.41 [/ math], para [math] r = 3.5 [/ math]. Los valores para la primera secuencia (comenzando con 0.40) se colocan en el eje [matemático] x [/ matemático], mientras que los valores para la segunda secuencia (comenzando con 0.41) se colocan en el [matemático] y [/ matemático] -eje. Hay un punto para cada [matemática] n [/ matemática].
La forma de leer esta trama es la siguiente. Si para una [matemática] n [/ matemática] dada, los valores de las dos secuencias son iguales, entonces obtendrá un punto en la diagonal (representado con una línea discontinua en la gráfica) – la [matemática] x [/ matemática ] y las coordenadas [matemáticas] y [/ matemáticas] para este punto son iguales. Si los dos valores son similares pero no iguales, obtendrá un punto cercano a la diagonal pero no en él. Si son completamente diferentes, el punto estará lejos de la diagonal. Como puede ver, aunque las dos secuencias comenzaron a partir de diferentes condiciones iniciales, se comportan cada vez más a medida que aumenta el número de pasos: la mayoría de los puntos en la trama están en o cerca de la diagonal. (Nota: coloreé los puntos con un tono más claro de rojo para pequeños [matemáticos] n [/ matemáticos] para que los puntos más rojos sean para tiempos posteriores)

Ahora eche un vistazo a lo que sucede cuando [math] r = 3.7 [/ math].
Santo molio! ¡Los puntos están por todas partes! Lo que esto significa es que, aunque comenzamos con dos condiciones iniciales muy similares, las dos secuencias no se parecen en nada. Eso es caos.

Distinguir el caos de la aleatoriedad

En realidad, no es trivial distinguir números aleatorios de números no aleatorios. Por ejemplo, supongamos que le digo que el siguiente es el resultado de un lanzamiento de moneda (1 es cara, 0 es cruz): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (son catorce). ¿Esto te parece aleatorio? Estoy seguro de que no. Sin embargo, encontré exactamente que la secuencia aparece dos veces en diez mil lanzamientos de monedas generados usando un verdadero generador de números aleatorios (random.org). Los mismos diez mil lanzamientos de monedas también contienen la secuencia [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] dos veces, y [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ( dieciocho ceros) una vez. Por supuesto, estos sucesos son raros (dada cualquier secuencia de longitud 14, es de esperar que aparezca en uno de aproximadamente 16000 sorteos), pero al mismo tiempo, no es sorprendente que los veamos aquí, ya que usamos 10000 muestras para Encuéntralos. El punto, sin embargo, es que si alguien le da muestras de una secuencia aleatoria, no hay nada en la muestra en sí que pueda decirle si el origen de la muestra fue un proceso aleatorio o no.

Ahora compare las secuencias que mostré arriba con esto:
[1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0]
Este parece más aleatorio, ¿verdad? Bueno, se generó con un generador pseudoaleatorio en mi computadora, lo que significa que en realidad se calcula de manera determinista a partir de la dinámica de un sistema caótico. Esto muestra la dificultad de distinguir la aleatoriedad “verdadera” de lo que se obtiene cuando simplemente no se conoce el estado exacto de un sistema.

Imprevisibilidad

Es importante no confundir aleatoriedad con imprevisibilidad. El comportamiento aleatorio no es predecible en sentido estricto (uno no puede hacer predicciones perfectas ), pero puede ser predecible con un alto grado de precisión (como en el caso de la caminata aleatoria sobre la que escribí anteriormente). Por el contrario, la imprevisibilidad puede deberse a la aleatoriedad (como la incapacidad de predecir exactamente cuándo ocurrirá una desintegración radiactiva), pero en la mayoría de los casos se debe simplemente a nuestra incapacidad para medir el estado inicial de un sistema con la suficiente precisión y seguirlo con la suficiente precisión. (como en el caso del pronóstico del tiempo o tratando de predecir dónde caerá una gota de agua de una ola que salpica contra la orilla [este es un ejemplo debido a Feynman que no puedo encontrar una referencia en este momento]).

La respuesta de Eric Pepke es acertada. Sin embargo, para aclarar, el comportamiento “aleatorio” es realmente impredecible. Incluso si supieras las condiciones iniciales de cada molécula en el universo, una teoría aleatoria de cómo funcionan las cosas no te diría exactamente cómo se desarrollaría el universo a partir de ese momento. En cambio, le daría una distribución de futuros posibles asociados con alguna probabilidad, o le daría estadísticas con respecto a esa distribución. Por ejemplo, un pronóstico del tiempo puede dar un comportamiento medio y alguna variación en torno a esa predicción que representa cuántas posibilidades alternativas hay lejos de la media. Además, el sistema que describe el modelo aleatorio puede desenrollarse de manera diferente cada vez que lo rebobina y lo reproduce.

Alternativamente, un modelo determinista toma condiciones iniciales y proporciona una trayectoria exacta del sistema. Si se trata de un sistema caótico, las trayectorias variarán enormemente a medida que cambie las condiciones iniciales, incluso un poco. El “efecto mariposa” esencialmente dice que un mundo verdaderamente determinista que comienza con una mariposa con sus alas hacia arriba puede ser completamente diferente de un mundo donde todo es igual pero la mariposa comienza con sus alas hacia abajo. Es un cambio menor en las condiciones iniciales, pero un cambio importante en el resultado. Aún así, cada vez que el mundo comienza con la mariposa en una determinada dirección, evolucionará exactamente de la misma manera. Es verdaderamente determinista; Simplemente es muy sensible a las condiciones iniciales.

Los generadores de números pseudoaleatorios para computadoras son realmente caóticos pero no aleatorios. Sacan una secuencia de números basada en una fórmula. Esa fórmula está “sembrada” con alguna condición inicial. Si cambia ligeramente las condiciones iniciales, la secuencia de números será muy diferente. Si tienes la misma semilla, obtienes la misma secuencia “aleatoria”. Sin embargo, debido a que no conoce la semilla o porque la semilla proviene de una fuente relativamente aleatoria (como una medición física o la hora actual), no sabe en qué parte de la función se encuentra. Por lo tanto, no puede predecir el siguiente número del número anterior, y por lo tanto, el generador de números pseudoaleatorios parece darle números aleatorios.

No puedes tener caos sin determinismo. El caos no es la falta de orden. El caos es un orden que es muy sensible a las condiciones iniciales; no es al azar en absoluto.

El caos se basa en la idea de que las diferencias mínimas en su condición inicial pueden magnificarse en grandes resultados. Cada paso en el camino se puede predecir perfectamente si tiene suficiente precisión, pero cuanto más se ejecute, más aumentará cualquier imprecisión.
Un proceso aleatorio tiene un resultado que es independiente de las entradas. Incluso con un conocimiento perfecto, no puede predecir un resultado.
Muchas cosas que tratamos como aleatorias son realmente el resultado del caos. Un lanzamiento de moneda, por ejemplo.
A menos que estemos hablando de mecánica cuántica, donde las cosas pueden ser verdaderamente aleatorias, no tiene mucho sentido distinguir entre un resultado aleatorio o uno caótico desde una perspectiva física. Puede tener sentido distinguirlos en función de cómo está tratando con el sistema.
Por ejemplo, el clima. Es un sistema caótico clásico. Si lo tratamos como un proceso aleatorio, solo podemos predecir cosas en función de la frecuencia. Llueve en este día del año el 25% del tiempo en el pasado, por lo que predeciremos una probabilidad del 25% de lluvia. Si lo tratamos como un sistema caótico, podemos saber que las predicciones a largo plazo son cada vez más erróneas, pero con base en las condiciones actuales podemos predecir lo que se desarrollará dentro de la próxima semana con un grado útil de precisión.
Los sistemas caóticos todavía tienen patrones y podemos modelarlos. El clima es un ejemplo de cómo un sistema caótico puede ajustarse a los patrones generales. Es posible que no pueda decir en qué días va a nevar dentro de 10 años, pero aún puede decir qué período de tiempo será el invierno. Un sistema caótico es difícil de simular pero puede ser modelado.
Un proceso aleatorio es uno en el que modelarlo como un sistema caótico es infructuoso. Tratando de modelar la distribución de peso del dado, el movimiento exacto que hará su mano (lo que requeriría modelar su cerebro) las cualidades exactas de la superficie de dónde caerán los dados, etc. No es algo muy útil. No se pueden hacer predicciones basadas en él, no hay tendencias generales para estudiar. Tratarlo como un único resultado aleatorio es todo lo que es razonable.
Entonces la diferencia es principalmente pragmática, no física.

En lenguaje sencillo:
Los sistemas caóticos exhiben inestabilidad dinámica. El síntoma principal de esto es la divergencia exponencial de las trayectorias que salen de un par de puntos cercanos. Esto se considera como un exponente positivo de Lyapunov. Los sistemas caóticos pueden tener pocos grados de libertad y ser completamente deterministas.
Los sistemas aleatorios tienen una distribución estadística de trayectorias, que es, en cierto sentido, amplia. Un sistema ruidoso es aleatorio. Para contrastar con lo anterior, las trayectorias se separarán difusivamente, es decir, separación ~ sgrt (t), en el tiempo. Los sistemas de ruido no son deterministas, con entrada externa con una distribución de probabilidad prescrita.

Curiosamente, cuando el ruido, que es aleatorio, se agrega a un sistema dinámico determinista, en realidad puede SUPRIMIR la inestabilidad dinámica que subyace en el caos. Por lo tanto, la aleatoriedad en realidad puede apagar el caos. !!!

“Aleatorio” tiene un par de definiciones diferentes. Uno es estadístico y describe un cierto tipo de distribución promedio. Otro es algorítmico y describe la imprevisibilidad del siguiente número en una secuencia. (Hay una definición técnica acerca de cómo un algoritmo predictivo debe crecer a medida que la longitud de la secuencia). Relacionado con eso hay una definición que tiene que ver con el determinismo.

El caos matemático no es aleatorio en ninguno de estos sentidos. No tiene ningún tipo de distribución uniforme y los grupos generalmente alrededor de atractores fractales. Es perfectamente determinista, y la mayoría de las secuencias caóticas sin límite se pueden calcular a partir de una cantidad muy pequeña de información inicial.

Caótico vs.Aleatorio:

He creado un generador de caos / aleatoriedad a partir de trigonometría: ¿los números aleatorios son realmente aleatorios si se generan a partir de algoritmos?
Caótico: distribución asimétrica, es decir, modelada .
Aleatorio: distribución uniforme, es decir, sin patrón .

Larga historia corta, el caos es determinista. Los sistemas aleatorios no lo son. Usando algunas métricas, los sistemas aleatorios tienen una entropía infinita (análoga a los exponentes positivos de Lyapunov), mientras que los sistemas caóticos tienen valores de entropía enormes. Puede construir fácilmente en cualquier lenguaje de programación un sistema caótico que se aproxime a una entropía infinita. Otra forma genial de crear aleatoriedad a partir de un sistema caótico muy simple es tomar muestras periódicas de sus series de tiempo en períodos de tiempo muy largos.

En un nivel más macro, la aleatoriedad proviene del efecto combinado de una gran cantidad de causas pequeñas. Si bien es posible que todas las causas pequeñas actúen en la misma dirección, en la práctica esto es extremadamente improbable. Entonces, un efecto aleatorio extremo es raro.

El caos determinista proviene de un pequeño número de causas más grandes, que interactúan de manera que hace que el resultado a largo plazo sea impredecible. Si bien el caos puede parecerse mucho al azar, la probabilidad de un evento extremo es más difícil (¿imposible?) De evaluar.

La aleatoriedad, creo, es imprevisibilidad general. Pero no estoy seguro de que haya una definición oficial. Un concepto relacionado es la ergodicidad. Creo que si suponemos que un proceso tiene una cierta cantidad de aleatoriedad, entonces podemos usar la ergodicidad para hacer predicciones sobre el comportamiento del conjunto.

El caos tiene una serie de características, pero la descripción habitual comienza con “sensibilidad a las condiciones iniciales, una medida de qué tan rápido divergen los puntos de inicio cercanos. A menudo, el caos está conceptualmente representado por un estiramiento y un pliegue. El estiramiento lleva a que los puntos cercanos se separen exponencialmente y el plegamiento mantiene todos los puntos dentro de una región determinada. Obviamente hay otras versiones del caos, pero esa no es una mala forma de verlo, en general. Curiosamente, el caos a menudo conduce a un colapso en la ergodicidad. A medida que cambia parámetros, un sistema aleatorio caótico podría tener capas sorprendentes de estabilidad.Si observa un diagrama de bifurcación, por ejemplo, hay bandas de estabilidad que en un sistema puramente erótico generalmente no existirían.

Las correcciones, aclaraciones y expansión de mis declaraciones son bienvenidas, siempre.

tl; versión dr:

El caos tiene reglas, son demasiado complejas para que podamos resolver esa situación en particular, y no podemos conocer las condiciones con suficiente precisión. La aleatoriedad no tiene reglas: cualquier cosa puede suceder en cualquier momento.

Prácticamente son casi lo mismo. Qué átomo se divide en material fisionable a qué hora es probablemente caótico, pero no podemos distinguir entre eso y la aleatoriedad en este momento. (Algún día podremos predecir qué átomo se dividirá cuando).

Matemáticamente hablando, cualquier sistema dinámico en caos tiene la siguiente propiedad:
Dado el estado de un sistema en el tiempo t = 0, se puede calcular el estado del sistema en cualquier momento t = t1, es decir, el sistema es determinista

Pero si uno cambia el estado inicial del sistema incluso por una cantidad infinitesimal, no hay forma de aproximar el estado en t = t1 del valor en el caso original

En un escenario teóricamente aleatorio dado el estado actual del sistema, es imposible calcular el siguiente estado aritméticamente ya que hay algún elemento “aleatorio” que afecta al sistema.

La hormiga de Langton es caótica.

En una superficie acotada genera una distribución aleatoria. Entonces, hay algunas situaciones en las que el caos y la aleatoriedad son similares.

La hormiga de Langton – Wikipedia

Graham

El comportamiento caótico surge del hecho de que no podemos medir las condiciones iniciales perfectamente, digamos, hasta el 18 ° o 226 ° lugar decimal al comienzo del sistema. Todo en un sistema caótico se mueve “según la ley”, pero el problema es que hay innumerables leyes que lo controlan. El comportamiento aleatorio es verdaderamente aleatorio y no se rige por ninguna ley. Por favor corrígeme si estoy equivocado.

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