La historia corta es la siguiente. El comportamiento aleatorio no es determinista: incluso si supiera todo lo que se puede saber sobre un sistema en un momento dado con todo detalle, aún no podría predecir el estado en un momento futuro. El comportamiento caótico, por otro lado, es totalmente determinista si conoce el estado inicial con todo detalle, pero cualquier imprecisión en el estado inicial, por pequeña que sea, crece rápidamente (exponencialmente) con el tiempo.
Sistemas aleatorios
Un lanzamiento de moneda o una lotería son ejemplos de sistemas aleatorios. Puedes lanzar una moneda un millón de veces, conocer el resultado cada vez, pero no te ayudaría en absoluto a predecir el resultado del próximo lanzamiento. Del mismo modo, puede conocer el historial completo de los números que ganaron la lotería, pero no le ayudará a ganar la lotería. (Si esto suena sorprendente, vea la falacia de Gambler).
Sin embargo, es importante señalar que los sistemas aleatorios no son necesariamente completamente impredecibles. Tomemos, por ejemplo, una caminata aleatoria gaussiana, en la cual la posición de una partícula se actualiza en cada paso de tiempo mediante un pequeño desplazamiento en una dirección aleatoria, con magnitud extraída de una distribución gaussiana con desviación estándar [math] \ sigma [/ math]. Si bien es imposible predecir exactamente dónde estará la partícula después de los pasos [math] n [/ math], es posible demostrar que, con alta probabilidad, no será mucho más lejos que [math] \ sigma \ sqrt n [ /matemáticas]. Si [math] \ sigma [/ math] es pequeño, esto podría significar que realmente puede predecir dónde estará la partícula con alta precisión, a pesar de la aleatoriedad del sistema.
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Para hacer esto más intuitivo, imagine a un borracho saliendo del bar a medianoche. Camina sin rumbo y no podrás saber exactamente dónde está. Sin embargo, sabiendo que camina a un paso de un paso por segundo, y suponiendo que cada paso se tome en una nueva dirección completamente aleatoria, sabes que no puede estar a más de 60 pasos (tal vez a cien pies) de distancia donde se fue.
Sistemas caóticos
Uno de los ejemplos habituales de comportamiento caótico es el mapa logístico. El estado de un sistema está representado por un número [matemático] x [/ matemático] que evoluciona en pasos de tiempo discretos. En cada paso, el estado cambia de acuerdo con
[matemáticas] x_ {n + 1} = r x_n (1-x_n) \ ,. [/ matemáticas]
Para algunos valores de [math] r [/ math], el comportamiento de [math] x_n [/ math] es relativamente simple: para grandes [math] n [/ math], [math] x_n [/ math] oscilará entre Un conjunto finito de valores. Sin embargo, para la mayoría de los valores de [math] r [/ math] más allá de aproximadamente 3.57, el comportamiento final del sistema depende en gran medida de las condiciones iniciales. Este comportamiento se resume en un diagrama de bifurcación, que se ve así para el mapa logístico:
(de Wikipedia)
Esto muestra dónde [math] x [/ math] podría terminar después de una gran cantidad de pasos en función de [math] r [/ math]. Como puede ver, mientras que para [matemática] r [/ matemática] pequeña, solo hay un par de valores asintóticos para [matemática] x [/ matemática], para [matemática] r [/ matemática] alrededor de 3.6 y mayor, [ matemáticas] x [/ matemáticas] puede estar por todas partes.
Una forma diferente de ver esto es la siguiente. A continuación se muestra una gráfica que muestra los valores de [matemáticas] x_n [/ matemáticas] para dos valores iniciales, [matemáticas] x_0 ^ {(1)} = 0.40 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_0 ^ {(2)} = 0.41 [/ math], para [math] r = 3.5 [/ math]. Los valores para la primera secuencia (comenzando con 0.40) se colocan en el eje [matemático] x [/ matemático], mientras que los valores para la segunda secuencia (comenzando con 0.41) se colocan en el [matemático] y [/ matemático] -eje. Hay un punto para cada [matemática] n [/ matemática].
La forma de leer esta trama es la siguiente. Si para una [matemática] n [/ matemática] dada, los valores de las dos secuencias son iguales, entonces obtendrá un punto en la diagonal (representado con una línea discontinua en la gráfica) – la [matemática] x [/ matemática ] y las coordenadas [matemáticas] y [/ matemáticas] para este punto son iguales. Si los dos valores son similares pero no iguales, obtendrá un punto cercano a la diagonal pero no en él. Si son completamente diferentes, el punto estará lejos de la diagonal. Como puede ver, aunque las dos secuencias comenzaron a partir de diferentes condiciones iniciales, se comportan cada vez más a medida que aumenta el número de pasos: la mayoría de los puntos en la trama están en o cerca de la diagonal. (Nota: coloreé los puntos con un tono más claro de rojo para pequeños [matemáticos] n [/ matemáticos] para que los puntos más rojos sean para tiempos posteriores)
Ahora eche un vistazo a lo que sucede cuando [math] r = 3.7 [/ math].
Santo molio! ¡Los puntos están por todas partes! Lo que esto significa es que, aunque comenzamos con dos condiciones iniciales muy similares, las dos secuencias no se parecen en nada. Eso es caos.
Distinguir el caos de la aleatoriedad
En realidad, no es trivial distinguir números aleatorios de números no aleatorios. Por ejemplo, supongamos que le digo que el siguiente es el resultado de un lanzamiento de moneda (1 es cara, 0 es cruz): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (son catorce). ¿Esto te parece aleatorio? Estoy seguro de que no. Sin embargo, encontré exactamente que la secuencia aparece dos veces en diez mil lanzamientos de monedas generados usando un verdadero generador de números aleatorios (random.org). Los mismos diez mil lanzamientos de monedas también contienen la secuencia [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] dos veces, y [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ( dieciocho ceros) una vez. Por supuesto, estos sucesos son raros (dada cualquier secuencia de longitud 14, es de esperar que aparezca en uno de aproximadamente 16000 sorteos), pero al mismo tiempo, no es sorprendente que los veamos aquí, ya que usamos 10000 muestras para Encuéntralos. El punto, sin embargo, es que si alguien le da muestras de una secuencia aleatoria, no hay nada en la muestra en sí que pueda decirle si el origen de la muestra fue un proceso aleatorio o no.
Ahora compare las secuencias que mostré arriba con esto:
[1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0]
Este parece más aleatorio, ¿verdad? Bueno, se generó con un generador pseudoaleatorio en mi computadora, lo que significa que en realidad se calcula de manera determinista a partir de la dinámica de un sistema caótico. Esto muestra la dificultad de distinguir la aleatoriedad “verdadera” de lo que se obtiene cuando simplemente no se conoce el estado exacto de un sistema.
Imprevisibilidad
Es importante no confundir aleatoriedad con imprevisibilidad. El comportamiento aleatorio no es predecible en sentido estricto (uno no puede hacer predicciones perfectas ), pero puede ser predecible con un alto grado de precisión (como en el caso de la caminata aleatoria sobre la que escribí anteriormente). Por el contrario, la imprevisibilidad puede deberse a la aleatoriedad (como la incapacidad de predecir exactamente cuándo ocurrirá una desintegración radiactiva), pero en la mayoría de los casos se debe simplemente a nuestra incapacidad para medir el estado inicial de un sistema con la suficiente precisión y seguirlo con la suficiente precisión. (como en el caso del pronóstico del tiempo o tratando de predecir dónde caerá una gota de agua de una ola que salpica contra la orilla [este es un ejemplo debido a Feynman que no puedo encontrar una referencia en este momento]).