¿Cómo han desarrollado los físicos un modelo matemático que describa el fenómeno cuántico si realmente no sabemos lo que significa? La Ciencia y la Tecnología mejoran el futuro

La ecuación en la pregunta α | 0⟩ + β | 1⟩ es tan sucinta que oculta qué es realmente la superposición, particularmente su poder. Sabemos lo que significa la superposición en la medida en que podamos construir computadoras cuánticas que se aprovechen de ella. Cuando escuchamos a los físicos decir declaraciones como “no entendemos lo que significa superposición”, el mensaje que se transmite es que la superposición es difícil de entender desde una perspectiva de sentido común.

Para comprender el poder de la superposición ( incluso si no podemos entender el fenómeno en sí ), construyamos un juego en el que podamos aumentar las probabilidades de ganar del 50% con una moneda regular regular al 100% con una “moneda cuántica” al aprovechar fuera de superposición, y solo un poco de trampa.

La mejor parte es que incluso si nuestro oponente expone nuestro engaño, el engaño parecerá un detalle insignificante.
Ni nosotros ni nuestro oponente tendremos una explicación satisfactoria de sentido común de por qué siempre podemos ganar, a pesar de saber cómo podemos ganar cuando hacemos trampa.

Juego de monedas regular.

Primero hagamos el juego con una moneda regular regular.

Colocamos monedas en una caja.
Declaramos nuestra elección a nuestro oponente, digamos cabezas.
Agitamos la caja y dejamos que la moneda se asiente.
Podemos elegir abrir la caja en este paso y ver si tiene cara o cruz en este punto, pero no importa: las reglas del juego dicen que tenemos que sacudir la caja una vez más y dejar que la moneda se asiente.
Ahora abrimos la caja para ver si ganamos o no.

Es obvio que nuestras posibilidades de ganar son del 50%. Además, realmente no importa si abrimos la caja y miramos adentro en el paso 4. Si jugamos este juego, digamos 1000 veces, independientemente de que miremos el resultado intermedio en el paso 4, la probabilidad de ganar es siempre 50 % La figura 1 ilustra esto.

Figura 1. Resultados regulares del lanzamiento de la moneda. El primer lanzamiento produce cara / cruz con un 50% de posibilidades cada uno. Los lanzamientos posteriores producen cara / cruz con un 50% de posibilidades. Por lo tanto, las posibilidades de ganar después del segundo lanzamiento siguen siendo del 50%. No importa si abrimos la caja después del primer lanzamiento: las posibilidades permanecen sin cambios independientemente de observar la moneda después del primer lanzamiento (la observación se indica en rojo)

Juego de monedas cuánticas.

Vamos a jugar ahora con una moneda cuántica en la caja. La moneda cuántica es similar a la moneda normal, lo que significa que puede estar en dos estados, cabeza o cola, y hay un 50% de posibilidades de que se encuentre en cualquiera de estos estados después de una operación equivalente a sacudir la caja.

Colocamos monedas cuánticas en una caja.
Declaramos nuestra elección: cara o cruz. Aquí es donde hacemos trampa. Si la moneda cuántica está en estado de cabeza, declaramos la cola como nuestra apuesta al oponente; si no apostamos por la cabeza. Nuestro oponente con suerte no lo nota.
Agitamos la caja y dejamos que la moneda se asiente.
No abrimos la caja en este momento. Simplemente realizamos la segunda sacudida como lo hicimos con la moneda normal.
Ahora abrimos la caja para encontrar que la moneda está exactamente en el estado en el que apostamos.

Podemos repetir este juego varias veces, y siempre que hagamos trampa cada vez y nuestro oponente no se dé cuenta, podemos ganar. Digamos que el oponente se da cuenta de que siempre estamos mirando la moneda cuántica antes del primer lanzamiento de la moneda.

El oponente puede sospechar que la moneda cuántica no es una moneda justa como la regular, y puede pedirnos que abramos la caja después del primer movimiento en el paso 4.
Ciertamente podemos permitir eso, pero luego le diremos al oponente que no apostaremos en esa carrera.
Para desconcierto de nuestro oponente, supongamos que repetimos el experimento 1000 veces cada vez que abrimos la caja después de la primera sacudida; el resultado siempre será aproximadamente 50-50 exactamente como una moneda normal. Por lo tanto, la moneda cuántica no se verá diferente de una moneda regular regular.
Agregando aún más consternación, los resultados de la segunda sacudida también serán exactamente como los de una moneda común: las caras se producirán aproximadamente el 50% del tiempo y las colas aproximadamente el 50% del tiempo, exactamente como un lanzamiento de moneda regular.

Entonces, aunque el oponente sabe que mirar dentro de la caja cuántica antes del primer movimiento tiene algo que ver con ganar, no tendrá sentido cómo eso puede permitirnos ganar, porque abrir la caja después del primer movimiento mostró que la moneda cuántica se comportó exactamente como un moneda justa.

Ahora podemos dejar entrar al oponente en nuestro secreto. Podemos confesar incluso si no lo entendemos también desde una perspectiva de sentido común, excepto que la siguiente estrategia siempre funciona

Si vemos la moneda cuántica antes del primer lanzamiento, siempre podemos ganar siempre que no abramos la caja después del primer batido. La Figura 2 ilustra esto para el caso de la cabeza y la Figura 3 para el inicio de la caja de cola

Figura 2. El resultado del lanzamiento de la moneda cuántica siempre produce una cola después del segundo movimiento cuando comenzamos con una cabeza y no abrimos la caja y observamos la moneda después del primer movimiento.

Figura 3. El resultado del lanzamiento de la moneda cuántica siempre produce una cabeza después del segundo movimiento cuando comenzamos con una cola y no abrimos la caja y observamos la moneda después del primer movimiento.

También podemos decir que nuestras posibilidades de ganar con una moneda cuántica se convierten exactamente en un lanzamiento de moneda normal una vez que abrimos después de la primera sacudida y observamos su estado, que es precisamente por lo que no apostamos cuando el oponente nos pidió que abrieramos la caja después de la primera sacudir. Esto se muestra en la figura 4 a continuación.

Figura 4. El resultado del lanzamiento de la moneda cuántica se comporta exactamente como una moneda normal, independientemente de que comience con la cabeza o la cola y abrimos la caja y observamos la moneda después del primer movimiento. Las probabilidades de ganar ahora son las mismas que las monedas normales: 50%. El cuadro rojo indica que se mira el resultado después del primer batido

Entonces, para resumir la extrañeza del lanzamiento cuántico de monedas

Observar la moneda cuántica después del primer batido, muestra claramente que es como una moneda justa. Incluso podemos contar los cuatro caminos desde la raíz que conducen a los cuatro resultados, independientemente de lo que comencemos en la raíz: HH, HT, TH, TT, todos ocurren con las mismas posibilidades que conducen al 50% cada uno para la cabeza y la cola en el segundo movimiento.
Sin embargo, cuando no observamos el estado después del primer movimiento, dos de los cuatro resultados del camino desaparecen como se muestra en las figuras 2 y 3 y siempre predeciblemente obtenemos una cola o una cabeza correspondiente al estado de la moneda antes del primer movimiento de la moneda.

La explicación matemática ( sin ecuaciones ) de cómo desaparecen dos de las cuatro ramas es bastante simple.

Cuando se trata de cosas cuánticas, como las monedas cuánticas, cambiamos las reglas de cálculo de la probabilidad y permitimos que los caminos del árbol en las figuras para las monedas cuánticas tomen valores negativos ( nunca haríamos eso en la vida diaria; imagínese escuchar a alguien decir hay una probabilidad negativa del 10 por ciento de llover mañana ). Dada esta regla relajada, podemos hacer que algunos de los caminos se cancelen entre sí y conduzcan a un árbol podado con solo cabezas o colas. La figura 5 ilustra esto

Figura 5. Moneda cuántica: los dos caminos que finalmente conducen a las caras tienen valores opuestos e iguales que se cancelan entre sí, mientras que los dos caminos que finalmente conducen a las colas se suman reforzándose entre sí. Esto sucede solo cuando la caja no se abre después del primer batido.

Pero uno puede preguntarse: ¿cómo pueden las ramas del árbol cancelarse entre sí? Cuando jugamos el juego incluso con la moneda cuántica, las veces que observamos la moneda después del primer movimiento mostraban claramente que cada juego solo atravesaba un camino del árbol. Es decir, independientemente de lo que comenzamos (cara o cruz), siempre tomamos uno de los cuatro caminos en cada carrera: HH, HT, TH, TT. Entonces, ¿cómo pueden estas rutas cancelarse entre sí, cuando cada ruta es diferente para cada ejecución?
Aquí es donde la superposición ofrece una interpretación. Cuando no observamos la moneda después del primer lanzamiento, ambos caminos desde la raíz se atraviesan simultáneamente. El sistema ahora está en una superposición de ambos estados. Cuando arrojamos la moneda nuevamente, los cuatro caminos se atraviesan simultáneamente y los caminos dados pueden tener valores positivos y negativos, se cancelan, produciendo un árbol podado que solo da un resultado: cara o cruz.
El poder de la superposición es el paralelismo. La naturaleza puede calcular en paralelo siempre que no observemos los pasos intermedios, y podemos construir formas de empujar hábilmente un sistema cuántico para realizar diferentes cálculos al igual que nuestro cuadro de sacudidas, y también aprovechar el efecto de cancelación ( y otros efectos extraños como enredos, no discutidos aquí ) para podar las rutas de cálculo para obtener resultados, eso tomaría mucho más tiempo en hacer una computadora convencional, ya que tiene que evaluar todas las rutas del árbol. Las computadoras cuánticas hacen uso del mismo truco que nuestra moneda cuántica. Cualquier sistema cuántico descrito por más de un estado está esencialmente en superposición, por lo que el paralelismo es inherente a los sistemas cuánticos.
Una aclaración sobre lo que queremos decir al observar la moneda, todo lo que significa es alguna forma de medir su estado, cara o cruz. Sin embargo, el acto de medir perturba la moneda cuántica y hace que colapse fuera de su estado paralelo en cara o cruz.
Entonces, en resumen, comenzamos con una moneda cuántica que estaba en un solo estado, cara o cruz ( no ambas ), incluso podríamos elegir exactamente con qué estado queríamos comenzar si quisiéramos. Luego lo sacudimos en un estado paralelo de estar en estado de cabeza y cruz. Luego lo sacudimos nuevamente y el sistema de monedas cuánticas calculó las rutas en paralelo para generar una salida determinista de solo uno de los dos estados. El resultado determinista siempre se basó en el estado con el que comenzamos (las cabezas siempre producían colas y viceversa ). Entonces podríamos usar eso para ganar cada vez al estar conscientes del estado inicial.
Este simple lanzamiento de monedas cuánticas ilustra dos conceptos clave esenciales para la computación cuántica

Paralelismo o superposición . La capacidad de un sistema cuántico de estar en múltiples estados en paralelo y, por lo tanto, atravesar múltiples rutas de cálculo en paralelo
Culling del camino o interferencia destructiva . Sin la eliminación de caminos, el paralelismo solo sería inútil. No tendríamos forma de extraer el resultado de un resultado. Al elegir cuidadosamente las operaciones de empuje ( transformaciones ), podemos eliminar las rutas y reducir los resultados deseados.

Esta explicación fue creada en base al blog de Scott Aaronson. Hay un libro que se basa en gran medida en su blog Quantum Computing desde Demócrito: Scott Aaronson: Amazon.com: Libros

Algunas notas adicionales.

Matemáticamente, como Scott menciona en su blog, la mecánica cuántica es la generalización de la probabilidad de una norma 1 a una norma 2.
El estado de un sistema expresado se puede expresar en la probabilidad estándar de 1 norma como un vector (p1, p2, … pn) donde todos los valores pi no son negativos y suman 1, ∑pi = 1. En mecánica cuántica, el El estado del sistema se describe mediante (a1, a2, .. an) donde todos los valores ai pueden ser positivos o negativos ( pueden ser reales; no es necesario que sean números complejos, aunque ai podría ser complejo; los números complejos permiten el cierre algebraico: el juego arriba no usó números complejos, solo valores reales que podrían ser positivos o negativos ) y la probabilidad en la norma 2, es decir, la probabilidad de que el sistema esté en cualquier estado es | ai | ^ 2 y ∑ | ai | ^ 2 = 1; Los valores negativos que ai puede tomar permiten el efecto de cancelación de las rutas que se explican a continuación.
El equivalente de moneda cuántica de cara y cruz son los estados 0 y 1 de un qubit. La operación de agitación de coin in box es la aplicación de una transformación de matriz unitaria 2 × 2 en el estado 0 o 1.

La primera aplicación en el estado 0 o 1 produciría un estado de superposición de 0 y 1 con amplitudes iguales 1 / √2 (o probabilidad 1/2). Entonces, si se hiciera una medición después del primer batido, sería 0 o 1 con la misma probabilidad
La aplicación de la misma transformación anterior al estado de superposición generaría 1 estado en el caso cuando comenzamos con 0, o 0 ( la suma de amplitud se agregará a -1 en este caso, pero cuando su cuadrado arroje una probabilidad de 1, bajando el negativo signo ) cuando comenzamos con 1. Entonces, la segunda aplicación de la transformación a un estado aleatorio produce un resultado determinista.
En las rutas de los árboles que se muestran en la figura 5, por ejemplo, podemos aplicar la transformación individualmente a cada estado después del primer movimiento, incluso si ese es un estado de superposición, porque la mecánica cuántica es una teoría lineal donde la evolución unitaria es un proceso lineal.
Entonces, para evaluar la probabilidad de cada resultado, aplicando la regla de la cadena solo necesitamos multiplicar las amplitudes a lo largo de cada ruta y sumar las rutas que producen el mismo resultado. Sin embargo, dado que las amplitudes pueden ser negativas, permite que las rutas sean positivas y negativas, lo que les permite cancelar o sumar como se muestra en la figura a continuación

Interferencia constructiva y destructiva al aplicar la matriz de transformación mencionada anteriormente dos veces. El árbol que se muestra arriba está construido como si la transformación se aplicara individualmente en los estados 0 y 1 aunque el sistema esté en un estado de superposición después de la primera transformación en el estado raíz. El resultado es el mismo independientemente de aplicar la transformación en el estado de superposición o individualmente en cada estado, ya que la evolución unitaria es un proceso lineal. La superposición hace que todos los caminos del árbol se atraviesen en paralelo, lo que conduce a una interferencia constructiva y destructiva.

Finalmente, volviendo a la notación sucinta del vector que captura la superposición α | 0⟩ + β | 1⟩

Quizás una de las cosas a las que debemos acostumbrarnos cuando observamos α y β, incluso si son solo valores reales, es que cuando decimos que es probable que el sistema esté en el estado | 0⟩ o | 1⟩, necesitamos pensemos en la probabilidad en la norma 2 y no en la norma 1 a la que estamos tan acostumbrados a calcular.
Otro hecho, que puede ser una razón clave que se suma a la dificultad de comprender la superposición con solo mirar esta notación vectorial – α | 0⟩ + β | 1⟩, es el hecho de que el paralelismo capturado en él es observable en nuestro contexto de la vida real, pero no observable en el contexto cuántico.

Por ejemplo, en la siguiente figura, cuando decimos que el vector de posición de un automóvil que viaja hacia el noreste, en un instante, es 1 / √2 N + 1 / √2 E, sabemos implícitamente
el auto viaja en paralelo en ambas direcciones: norte y este.
podemos confirmar esto midiendo la posición del automóvil en ese instante: encontraremos un componente del norte y un componente del este, como dice claramente la ecuación.
Sin embargo, la misma notación vectorial 1 / √2 N + 1 / √2 E en mecánica cuántica significa algo sutilmente diferente. Es como decir que el automóvil está viajando en ambas direcciones simultáneamente, pero si lo midiéramos, descubriremos que solo viaja hacia el norte o el este ( y no hacia ambos ).
Entonces, en resumen, la superposición en el contexto cuántico, visto desde una perspectiva de sentido común que conduce un automóvil, es de hecho una combinación lineal de estados o recorrido paralelo a lo largo de las direcciones de base ( norte, este ) como indica la notación α | 0⟩ + β | 1⟩, pero el el paralelismo no se puede medir directamente: cada medición solo produciría un recorrido a lo largo de una dirección a la vez. Peor aún, una vez que hagamos una medición y descubramos que el automóvil está viajando, digamos hacia el este, todas las mediciones posteriores solo darán como resultado hacia el este; nunca más lo mediremos hacia el norte. Aún más en contra de la intuición, cuando el automóvil viaja en paralelo a lo largo de todas las direcciones básicas cuando no medimos su posición, podemos con algunos empujones inteligentes ( transformación usando puertas cuánticas ), hacer que el automóvil llegue a los destinos ( respuestas a problemas de cálculo ) eso nos hubiera llevado mucho tiempo descubrir si hubiéramos tratado de atravesar exhaustivamente todos los caminos que conducen el automóvil por nuestra cuenta, con una conciencia constante de dónde nos encontramos en cada paso del camino. Si tuviéramos dos qubits podríamos tener una superposición de 4 estados (00,01,10,11) o 4 rutas paralelas. Si tuviéramos 30 qubits en superposición en nuestro juego, estaríamos atravesando 2 ^ 30 caminos en paralelo, eso es aproximadamente el número de galaxias en el universo.

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