Esto es en respuesta a la respuesta de Jack Bednik a continuación.
En mecánica cuántica, tenemos tres formas relacionadas de considerar la evolución temporal de un sistema dado. Todos son perfectamente equivalentes y dan la misma información al final. Sin embargo, dependiendo de las circunstancias, a menudo es más fácil trabajar en una de las representaciones que en las otras.
La evolución temporal de una función de onda de Schrodinger viene dada por la ecuación de Schrodinger:
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[matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} | \ psi \ rangle = H | \ psi \ rangle [/ math]
donde H es el hamiltoniano del sistema y [math] | \ psi \ rangle [/ math] es el estado en evolución temporal. Aquí, la evolución temporal es llevada por el estado para el cual podemos escribir la solución formal
[matemáticas] | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle [/ matemáticas]
donde es importante notar que el exponente está ordenado en el tiempo, lo cual es una consideración importante cuando el Hamiltoniano mismo evoluciona en el tiempo.
El valor esperado de los observables se calcula de la manera habitual. Por ejemplo, para el operador A
[matemáticas] \ langle A (t) \ rangle = \ langle \ psi (t) | A | \ psi (t) \ rangle [/ math]
entonces podemos escribir esto como
[matemáticas] \ langle A (t) \ rangle = \ langle \ psi (0) e ^ {+ iHt / \ hbar} A e ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle [/ math]
Esto define la representación de Heisenberg. Tenga en cuenta, sin embargo, que puedo escribir un nuevo operador que es la transformación unitaria del operador original
[matemáticas] A (t) = e ^ {+ iHt / \ hbar} A e ^ {- iHt / \ hbar} [/ matemáticas]
La derivada del tiempo de esto es entonces
[matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial t} A (t) = \ frac {i} {\ hbar} (HA (t) – AH) [/ math]
o
[matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} A (t) = [A, H] [/ matemáticas] No hemos hecho nada, excepto mover la descripción de la dinámica en términos de la evolución de el operador. De hecho, cualquier valor de observación o expectativa realizado utilizando A (t) en la representación de Heisenberg será el mismo que deberíamos obtener en la representación original de Schrodinger.
La representación de Heisenberg es muy útil ya que existe una estrecha conexión (al menos formalmente) con la evolución temporal de un conjunto clásico en el espacio de fase bajo la ecuación de Liouville. En el caso de la mecánica clásica, el soporte del conmutador es, en cambio, el soporte de Poisson.
La tercera representación, y a menudo más útil, es la representación de interacción. En esta representación, comenzamos escribiendo el Hamiltoniano completo en dos partes, [matemática] H = H_o + V [/ matemática], donde el primer término generalmente es un sistema de referencia y V es una perturbación débil. Luego definimos la función de onda de interacción como
[matemáticas] | \ psi_I (t) \ rangle = e ^ {+ iH_ot / \ hbar} e ^ {- i (H_o + V) t / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle [/ math]
Nuevamente, es una transformación unitaria del ket original, pero voy a hacer una transformación inversa con respecto al sistema de referencia. Al hacerlo, eliminaré las oscilaciones potencialmente rápidas cuando vaya a realizar una evaluación numérica. La evolución temporal de la función de onda de interacción viene dada por la ecuación de Tomonaga-Schwinger
[matemáticas] i \ hbar \ partial_t | \ psi_I \ rangle = V_I (t) | \ psi_I \ rangle [/ math]
dónde
[matemáticas] V_I (t) = e ^ {iH_ot / \ hbar} Ve ^ {- iH_ot / \ hbar} [/ matemáticas]
es el operador de interacción. Parece un operador de Heisenberg … pero no lo es. El vector de estado depende del tiempo, pero toda su evolución se debe a la interacción. Esta representación particular es útil en el desarrollo de expansiones perturbativas.
Finalmente, hay otra representación importante para la dinámica cuántica y es en términos de la matriz de densidad. La matriz de densidad es el producto externo del vector de estado:
[matemáticas] \ rho = | \ psi \ rangle \ langle \ psi | [/ matemáticas]
y tiene las propiedades que [math] Tr [\ rho] = 1 [/ math] y para un estado puro [math] \ rho ^ 2 = \ rho [/ math] y [math] Tr [\ rho ^ 2] = 1 [/ matemáticas]. Los términos diagonales de la matriz de densidad corresponden a la población, mientras que los términos fuera de diagonal son las coherencias. Por ejemplo, si escribo la función de onda de Schrodinger en una base dada como
[matemáticas] | \ psi \ rangle = \ sum_j c_j | \ phi_j \ rangle [/ matemáticas]
entonces los elementos de la matriz de densidad son que [math] \ rho_ {ij} = c_ic_j ^ * [/ math]. El término [math] | c_i | ^ 2 [/ math] luego da la probabilidad de encontrar el sistema en el estado base i y el número complejo [math] c_ic_j ^ * [/ math] da la coherencia entre el estado i y el estado j .
Tenga en cuenta que si elimino las coherencias y solo tengo poblaciones, entonces [math] Tr [\ rho] = 1 [/ math] pero [math] Tr [\ rho ^ 2] <1 [/ math]. En este caso, tenemos un estado estadístico mixto. No se puede construir una función de onda de Schrodinger que dé lugar a un estado mixto. Sin embargo, los estados mixtos son los que se obtienen cuando el sistema está en equilibrio térmico.
La matriz de densidad también evoluciona en el tiempo como un operador de Heisenberg, con una diferencia clave en el conmutador.
[matemáticas] i \ hbar \ partial_t \ rho = [H, \ rho] [/ matemáticas]
Bajo esta evolución, la matriz de densidad de un estado puro evolucionará a otro estado puro y no perderemos “pureza” en ese [math] \ gamma = Tr [\ rho ^ 2] = 1 [/ math]
Tenga en cuenta que esta última ecuación se puede resolver formalmente utilizando la forma de superoperador
[matemáticas] \ rho (t) = e ^ {- i {\ cal L} t} \ rho (0) [/ matemáticas]
donde [math] {\ cal L} [/ math] es el súper operador de Liouville. Al igual que con la función de onda, podemos definir una matriz de densidad de interacción, etc. escribiendo [math] {\ cal L} = {\ cal L} _o + {\ cal V} [/ math]
expandiendo lo exponencial
[matemáticas] \ rho (t) = \ left (e ^ {- i {\ cal L} _ot} – i \ int_0 ^ t dt_1e ^ {i {\ cal L} _o (t-t_1} {\ cal V} (t_1) e ^ {- i {\ cal L} _ot_1} – \ int_0 ^ tdt_1 \ int_0 ^ {t_1} dt_2e ^ {i {\ cal L} _o (t-t_1)} {\ cal V} (t_1) e ^ {- i {\ cal L} _o (t_1-t_2)} {\ cal V} (t_2) e ^ {- i {\ cal L} _ot_2} + \ cdots \ right) \ rho (0) [/ matemáticas]
Cada término de superoperador actúa como un conmutador (en lugar de un término multiplicativo), por lo tanto, puedo volver a escribir cada uno de los integrandos como una serie de conmutadores anidados. En otras palabras, los propios operadores actúan tanto en el lado izquierdo como en el derecho de la matriz de densidad. De esto podemos ver que la dinámica cuántica procede como una serie de interacción que primero crea coherencia (al actuar en un lado del dm.) Y luego transfiere esa coherencia para crear población.
Si permitimos que el sistema representado por Hamiltonian H sea impulsado o esté en contacto con un término de ruido aleatorio o esté en contacto con un baño térmico, la pureza disminuirá a medida que el sistema pierda coherencia de fase (véase Pereverzev y Bittner, J. Chem. Phys. 123, 244903 (2005)).
