¿Cuál es una expresión para el momento dipolar magnético de un electrón giratorio?

Momento dipolo magnético de un electrón giratorio

Un átomo consiste en un núcleo pesado cargado positivamente alrededor del cual negativamente
Los electrones cargados giran en órbita circular.

El electrón de carga (-e) realiza UCM (movimiento circular uniforme) alrededor de un núcleo estacionario con
periodo de revolución T. Si r es el radio de la órbita de revolución del electrón
y v es la velocidad orbital entonces

La magnitud del momento magnético asociado con la corriente circular es
La dirección de este momento magnético es hacia el plano del papel. Negativamente
el electrón cargado se mueve en sentido antihorario, lo que lleva a una
corriente en sentido horario.
Multiplicar y dividir el lado derecho de la ecuación (5) por la masa de
electrón, yo entonces
El signo negativo indica que el momento angular orbital de
El electrón es opuesto en la dirección del momento magnético orbital.

La relación del momento dipolar magnético con el momento angular de
El electrón giratorio se llama relación giromagnética.
gracias por el A2A .. !!

Descargo de responsabilidad: intentaré derivar esto del punto de un estudiante de Física de secundaria superior. Surgirán complicaciones a lo mismo a medida que avancemos en las calificaciones.

Así que considere el modelo atómico de Bohr. Como puede ver en la imagen a continuación, el electrom cargado negativamente gira en una órbita circular de radio [matemática] r [/ matemática] alrededor de un núcleo cargado positivamente. Como el electrón gira en un camino cerrado, su movimiento constituye una corriente eléctrica. El electrón, en virtud de su movimiento en sentido antihorario, produce corriente convencional en el sentido de las agujas del reloj.

Entonces, la [matemática] i = \ frac {e} {T} [/ matemática] actual

[matemáticas] e – [/ matemáticas] Carga del electrón.

[matemáticas] T – [/ matemáticas] Período de tiempo de revolución del electrón.

Ahora, [matemáticas] v [/ matemáticas] es la velocidad orbital del electrón. Así,

[matemáticas] T = \ frac {2 \ pi r} {v} [/ matemáticas]

Y entonces,

[matemáticas] i = \ frac {ev} {2 \ pi r} [/ matemáticas]

Dado que el electrón realiza movimiento orbital, tiene un momento magnético orbital [matemática] \ mu. [/ Matemática]

[matemáticas] \ mu = i A [/ matemáticas]

Dónde:

[matemáticas] A – [/ matemáticas] Área de la órbita.

Por lo tanto, [matemáticas] \ mu = \ frac {ev} {2 \ pi r} (\ pi r ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mu = \ frac {rev} {2} [/ matemáticas]

If [math] m [/ math] – Masa del electrón

[matemáticas] \ mu = \ frac {e} {m} (mvr) [/ matemáticas]

Pero, [math] mvr = l. [/ Math]

Aquí, [matemáticas] l – [/ matemáticas] Momento angular del electrón sobre su núcleo.

Esto finalmente da [matemáticas] \ mu = \ frac {el} {2 m} ……… (1) [/ matemáticas]

Bohr planteó la hipótesis de que el momento angular del electrón tiene un conjunto discreto de valores dados por la ecuación [matemática] l = \ frac {nh} {2 \ pi} ……. (2) [/ matemática]

Donde [matemáticas] n = 1,2,3 …… [/ matemáticas] y [matemáticas] h [/ matemáticas] es la constante de Planck ( [matemáticas] 6.626 * 10 ^ {- 34} J s.) [/ Matemáticas]

Cuando sustituye el valor de [math] l [/ math] de (2) en (1), nos da:

[matemáticas] \ mu = \ frac {neh} {4 \ pi m}. [/ matemáticas]

Tome [matemáticas] n = 1. [/ matemáticas]

Por lo tanto, obtenemos el valor mínimo del momento magnético como:

[matemáticas] l_min = \ frac {eh} {4 \ pi m} [/ matemáticas]

Esto se conoce como el Magneton de Bohr y se calculó como [matemáticas] 9.27 * 10 ^ {- 24} A m ^ 2. [/ Matemáticas]

Este es solo el momento magnético orbital. Como un electrón posee la propiedad de espín , también tiene un momento magnético de espín. Entonces, el momento magnético resultante es la suma vectorial de los componentes orbitales y espín.

Referencias

Créditos de imagen: https://byjus.com/physics/magnet …

Créditos de libros de texto: Física – 12 ° (Tamil Nadu Textbook and Educational Services Corporation).

Gracias por el A2A.

Para un electrón giratorio que lleva una carga e (igual a la carga electrónica), girando alrededor del núcleo con un radio igual al radio de bohr a0, el flujo de corriente es igual a [matemáticas] \ dfrac {e} {T} = \ dfrac { ev} {2 \ pi r}, [/ math] donde v es la velocidad del electrón.

Por lo tanto, momento magnético = Corriente * Área = [matemática] \ dfrac {ev} {2 \ pi r} (\ pi r ^ 2) = \ dfrac {evr} {2} [/ matemática].

Ahora, para calcular v, fuerza centrípeta = fuerza electrostática.

Por lo tanto, [math] \ dfrac {mv ^ 2} {r} = \ dfrac {KZe ^ 2} {r ^ 2}. [/ Math]

Además, uno tiene la cuantización del momento orbital: [math] mvr = \ dfrac {nh} {2 \ pi} [/ math].

Por lo tanto, finalmente sustituya r y v en términos de ny otras constantes conocidas.

La pregunta es un poco confusa.

Hay más de una forma de interpretar “revolver” con respecto a un electrón: podría ser que se refiere al campo debido al momento angular de giro [matemática] S [/ matemática] del electrón sobre su centro, o podría sea ​​que se refiere al momento angular orbital [matemática] L [/ matemática] del electrón sobre algún otro punto, por ejemplo. O podría significar el momento angular total [matemática] J [/ matemática].

Clásicamente, uno puede pensar en el campo magnético del electrón debido a su giro como un campo dipolo perfecto. La magnitud del campo dipolar es proporcional al momento angular del electrón: puede ser el momento angular de rotación, el momento angular orbital o el momento angular total.

[matemáticas] \ mu = g \ frac {- e} {2 m_e} J [/ matemáticas]

El factor [math] g [/ math] es un factor de corrección: en el modelo clásico del electrón, el campo surge de un bucle de corriente con momento angular de giro [math] S [/ math], el momento magnético del electrón tendría el valor [math] \ frac {-e} {2 m_e} S [/ math].

La mecánica cuántica g tiene el valor [matemática] g = 2 [/ matemática] para un electrón que satisface la ecuación de Dirac.

En electrodinámica cuántica [matemática] g [/ matemática] se corrige aún más del valor de Dirac en una pequeña cantidad. Este número es uno de los números medidos con mayor precisión en toda la física. Experimentalmente uno tiene:

[matemáticas] g = 2.002 319 304 199 22 \ pm (150) [/ matemáticas]

El valor teórico se ha calculado hasta el cuarto orden en la constante de estructura fina y con los mejores valores experimentales para la constante de Rydberg y la constante de estructura fina, los valores experimentales y teóricos coinciden aproximadamente con una parte en mil millones.

La forma funcional específica de un campo magnético dipolo se puede buscar en muchos lugares.

Considere un electrón que gira alrededor de un núcleo en un átomo. Como el electrón es una partícula cargada negativamente, el átomo actuará como un bucle portador de corriente y su momento dipolar magnético está dado por

M = IA

donde I = actual y A = área de la sección transversal

si r es el radio de la órbita entonces

M = (e / t) (pi r ^ 2)

= (ev / 2pi r) (pi r ^ 2) = evr / 2 = mevr / 2m

Desde mvr = momento angular (L)

Entonces M = -eL / 2m (en forma vectorial), ya que el momento dipolar magnético del electrón y el momento angular están en dirección opuesta.