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Respuesta corta: el momento cristalino es el momento de los electrones en los sólidos cristalinos cuyos valores admisibles reflejan la periodicidad de la red cristalina. Sin embargo, los libros de texto de física de estado sólido tienden a enfatizar que no es exactamente lo mismo, por las razones dadas al final de esta respuesta.
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En la mecánica clásica, el impulso de una partícula se expresa como [math] p = m \ mathbf {v} [/ math] (unidades = kg m / s)
En mecánica cuántica, el momento de una partícula se expresa como [math] p = \ hbar \ mathbf {k} [/ math] (unidades = kg m ^ 2 / s * 1 / m = kg m / s). A menudo, la constante [math] \ hbar [/ math] se omite y el número de onda (o vector de onda) k se conoce como ‘momentum’. Las unidades pueden ser iguales, pero la distinción es muy importante. El momento clásico es una construcción en el espacio real: conocemos las posiciones de las partículas. Cuando usamos el impulso en la mecánica cuántica (como en el ejemplo a continuación), a menudo tomamos la decisión de que la posición será más indeterminada. Es decir, si eres nuevo en los diagramas de estructura de banda, no trates de imaginarlos en el espacio real; solo confíe en las matemáticas y, eventualmente, ganará la intuición.
En un libro de texto de mecánica cuántica, la primera implementación de un problema de valor propio generalmente es para una partícula libre en una dimensión
[matemáticas] – \ imath \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} \ phi = p_x \ phi [/ math]
que admite soluciones para la función de onda [math] \ phi [/ math] del formulario
[matemáticas] \ phi = Ae ^ {\ imath p_x x / \ hbar} = Ae ^ {\ imath kx} [/ math]
Los problemas de mecánica cuántica relacionados posteriores restringen los valores que k puede tomar en función de las condiciones de contorno o simetrías. En particular, los sólidos cristalinos están sujetos al teorema de Bloch, que establece que un hamiltoniano periódico debe admitir soluciones periódicas. Si la partícula ahora se mueve en un cristal unidimensional con unidad de repetición a , k está restringido a tener valores [matemáticos] k = 2 n \ pi / N a [/ matemáticos] donde N es el número de átomos en el cristal, y [matemáticas] n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3 … [/ matemáticas]. N es muy grande, por lo que los valores de k admisibles forman un espectro continuo en lugar de valores discretamente observables. Además, el valor único máximo que k puede tomar es [matemática] 2 \ pi / a [/ matemática] (esto se llama el vector de onda de red recíproca G ) porque las funciones de onda de la forma [matemática] e ^ {2 n \ pi \ imath x / N a} [/ math] son periódicos.
El momento cristalino se comporta como cualquier otro momento, ya que se conserva en colisiones de partículas. Entonces, si un fotón con momento [matemáticas] p = \ hbar k = h \ nu / c [/ matemáticas] golpea un electrón, imparte este impulso (que es despreciablemente pequeño, excepto por los rayos X) además de su energía [ matemáticas] h \ nu [/ matemáticas]. La única advertencia es que k es equivalente a k + G , por lo que un proceso que lanza un electrón a una zona de Brillouin más alta [matemática] (k ‘> 2 \ pi / a) [/ matemática] en realidad lo patea a un momento equivalente [ math] \ mathbf {k} = \ mathbf {k} ‘- \ mathbf {G} [/ math] en la primera zona de Brillouin.
¿Cómo es el impulso cristalino, no el impulso?
- Un potencial cristalino periódico rompe la invariancia de la traducción, por lo que sus estados propios (ondas Bloch con momento cristalino k) no serán estados propios simultáneos del operador de momento
- La tasa de cambio del momento de un electrón libre es proporcional a la fuerza total, pero la tasa de cambio del momento cristalino de un electrón está dada solo por fuerzas externas (campo eléctrico y magnético aplicado) y no incluye el campo periódico dado por el cristal enrejado
Referencia: Física de estado sólido de Ashcroft y Mermin
