No estoy seguro de que esté preguntando qué pretendía preguntar. Contestaré la pregunta que realmente hizo (con un poco de redacción limpiada) y luego la pregunta que podría haber querido (tal vez sin darse cuenta).
Pregunta 1: Las magnitudes del error relativo en la medición de una masa y una velocidad son 3% y 4%, respectivamente. ¿Cuál es el error relativo máximo en el cálculo de la energía cinética?
(Notas: El error relativo es una forma más general y menos ambigua de expresar lo que llamó error porcentual; sí, muchas personas usan el término error porcentual, pero lo que sucede si el elemento que está midiendo es en sí mismo un porcentaje y midió 19% y el verdadero valor es 20%? El error es -1%, el error absoluto es 1% y el error relativo es 5%. Todos tienen un porcentaje como unidades, por lo que referirse al “porcentaje de error” puede ser confuso en tales un contexto, mientras que los términos que utilicé no son ambiguos. Los errores relativos se firman en este escenario, lo que indica si el valor medido es demasiado grande o demasiado pequeño en comparación con el valor verdadero; sus números no estaban firmados, así que supongo que usted no me preocupa la dirección del error y me referí a él como la magnitud del error relativo, desechando su signo; en realidad, es posible que haya tenido la intención de tener las medidas demasiado grandes, haciendo un error relativo positivo, en cuyo caso hubiera sido mejor expresar explícitamente que como +3% y +4%. El porcentaje se considera una unidad de medida y, como todas las medidas, excepto los grados angulares, los minutos de arco y los segundos de arco, debe haber un espacio entre la parte numérica y la unidad de medida; esto entretiene a los profesores de inglés que insisten en que no debe haber un espacio entre el número y el%, pero la mayoría de los profesores de inglés no tienen idea de las reglas de la escritura técnica. Si todo lo que tiene son errores relativos en los valores de masa y velocidad, no puede tener ningún error que no sea un error relativo en la energía, por lo que agregué “relativo” al último uso de “error”.)
Para una masa my una velocidad v , la energía cinética es 0.5 mv ². La masa que tienes tiene un 3% de descuento. Eso significa que la masa que está utilizando es 0,97 m ₜ o 1,03 m ₜ, donde m ₜ es la masa verdadera. Del mismo modo, la velocidad que está utilizando es 0,96 v ₜ o 1,04 v ₜ, donde v ₜ es la velocidad real. Veamos qué sucede con cada una de estas opciones:
0.5 (0.97 m ₜ) (0.96 v ₜ) ² = 0.893 952 × 0.5 m ₜ v ₜ², entonces 10.6% demasiado bajo;
0.5 (0.97 m ₜ) (1.04 v ₜ) ² = 1.049152 × 0.5 m ₜ v ₜ², entonces 4.9% demasiado alto;
0.5 (1.03 m ₜ) (0.96 v ₜ) ² = 0.949248 × 0.5 m ₜ v ₜ², entonces 5.1% demasiado bajo;
0.5 (1.03 m ₜ) (1.04 v ₜ) ² = 1.114048 × 0.5 m ₜ v ₜ², entonces 11.4% demasiado bajo.
El peor de estos casos es el último con un error del 11.4%. Dado que ha expresado los errores relativos como si los conociera solo al porcentaje más cercano (de lo contrario, habría escrito 3.0%, 3.00%, o cualquier nivel de significación que realmente conozca el error para la masa y de manera similar para la velocidad, ¿verdad?), la respuesta final es razonable solo al porcentaje más cercano, es decir, 11% .
Como regla general, puede esperar que la peor de las situaciones utilice la mayor de las dos opciones para valores en un numerador y la menor de las dos opciones en un denominador. Aquí solo tenía productos, no divisiones, por lo que lo tratamos como un caso solo de numerador. Eso significa esperar que el peor de los casos sea con el mayor de 0.97 y 1.03 para la masa y el mayor de 0.96 y 1.04 para la velocidad, que es lo que encontramos cuando probamos todas las posibilidades.
Ahora, cuando los errores relativos son lo suficientemente pequeños (que apenas son en este caso), puede hacer una aproximación rápida y sucia que convierte los productos y cocientes en sumas, y las potencias en productos. Tienes una potencia, la cuadratura de la velocidad, por lo que multiplicas el exponente (2 para la cuadratura) por la magnitud del error relativo de la velocidad (4%) para obtener un error relativo del 8% para el cuadrado de la velocidad. El cuadrado de la velocidad se multiplica por la masa, así que suma esos dos errores relativos (8% para el cuadrado de la velocidad y 3% para la masa) para obtener el 11%. El coeficiente 0.5 es exacto, por lo que no aporta ningún error relativo. Por lo tanto, el error relativo total en el peor de los casos es de aproximadamente el 11%, que coincide con lo que obtuvimos antes.
Pregunta 2: La incertidumbre relativa en la medición de una masa y una velocidad es 3% y 4%, respectivamente. ¿Cuál es la incertidumbre relativa en el cálculo de la energía cinética?
La incertidumbre es una situación mucho más común en la ciencia experimental que saber cuáles son realmente sus errores. En la medida en que conozca la cantidad real de error en un experimento, puede compensar ese error conocido para obtener un resultado que esté mucho más cerca del valor real. La incertidumbre se expresa típicamente usando el concepto estadístico de desviación estándar. No hay un error en el peor de los casos: los errores pueden ser arbitrariamente grandes, pero la probabilidad de tener un error grande disminuye muy rápidamente a medida que aumenta la magnitud del error. Idealmente, el 68% del tiempo la magnitud de un error será menor que la desviación estándar y el 99.73% del tiempo será dentro de 3 veces la desviación estándar. Cuando combinamos cantidades (como la masa y la velocidad aquí) con incertidumbres, la incertidumbre combinada será mayor que la incertidumbre de cada componente, pero tiene en cuenta que algunos errores generalmente se cancelarán parcialmente, no siempre tenemos un peor de los casos donde todos los errores se incrementan entre sí
Cuando combinamos incertidumbres, generalmente calculamos utilizando no la incertidumbre (desviación estándar) en sí, sino su cuadrado, que se conoce como la varianza. La incertidumbre relativa de un producto de factores no correlacionados es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las incertidumbres relativas de los factores (convertir desviaciones estándar en varianzas para trabajar con ellos y luego convertir el resultado a una desviación estándar). Aquí tenemos 0.5 (sin incertidumbre), m (3% de incertidumbre relativa) y v ² (con v teniendo un 4% de incertidumbre; no podemos dividir v ² en los dos factores v y v , porque están correlacionados). La incertidumbre relativa de la enésima potencia de un valor incierto es n veces la incertidumbre relativa del valor base incierto. Por lo tanto, aquí v ² tiene una incertidumbre relativa del doble de la incertidumbre relativa de v , o 2 × 4% = 8%. Por lo tanto, la incertidumbre relativa de la energía cinética es sqrt ((3%) ² + (8%) ²) = sqrt (0.03² + 0.08²) = sqrt (0.0073) ≈ 0.085 = 8.5% . Si consideramos 3 veces eso como un “peor caso nominal”. esperaríamos no superar el 26% de descuento.
Eso suena bastante grande, pero corresponde a las incertidumbres de los componentes, con el mismo límite de 3 desviaciones estándar, nuestros errores nominales de peor caso para myv son 9% y 12%, respectivamente, no son pequeños y luego la cuadratura de la v mejora la error potencial sustancialmente (al 24% para v ²).
Para obtener más información sobre este enfoque, busque en Internet “propagación de error” y “propagación de incertidumbre”.
