Puedo darte totalmente la formulación matemática de este problema:
[matemáticas] R ^ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} Rg ^ {\ mu \ nu} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ left (\ rho_t U_t ^ \ mu U_t ^ \ nu + \ rho_s U_s ^ \ mu U_s ^ \ nu \ right) [/ math]
En esta ecuación, el lado izquierdo describe la curvatura de la métrica espacio-tiempo [matemática] g [/ matemática] y el lado derecho describe la energía y el momento de los dos campos de materia del toro y la esfera. Los símbolos [math] R [/ math] son el tensor Ricci y escalar, son funciones de [math] g [/ math]. Los [math] \ rho [/ math] son los campos de materia que describen el toro y la esfera, los [math] U [/ math] son sus cuatro velocidades. Para simplificar, los he descrito como campos de polvo sin integridad interna alguna, por lo que en una solución completa a estas ecuaciones (esto es todo un sistema de ecuaciones diferenciales), el toro se desintegraría, se expandiría y adelgazaría. eje y la esfera comenzarían a colapsarse en sí mismas y eventualmente obtendrían un buen remolino por la masa giratoria del toro. Todo esto depende de las condiciones iniciales y las masas, por supuesto. Para que esas masas se mantengan algo rígidas, tendrías que incorporar cierta auto-interacción de los campos de polvo que las une. De hecho, los cuerpos rígidos están mal definidos en la teoría de campo. Así que, básicamente, en la relatividad general no hay toros rígidos y esferas volando por el espacio. Solo fluidos interactivos que pueden o no disponerse en algún punto como esfera o toro.
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Pero si solo toma el campo gravitacional inicial para una disposición de toro y esfera, obtendrá una buena imagen de lo que sucedería con hipotéticos cuerpos rígidos. La solución exacta a su problema sería muy complicada y depende mucho de la información que omitió en su pregunta. Pero sin hacer los cálculos, aún puedes hacer algunas predicciones usando solo la intuición física: por supuesto, la esfera y el toro se atraerán entre sí. A medida que se acerquen, el toro giratorio forzará su eje de rotación en el movimiento de la esfera a través de un fenómeno que se llama “arrastre de marco” (imagine que el espacio es una olla de agua y el toro gira en él) y, finalmente, algo estable La órbita de los dos cuerpos será la solución asintóticamente estática (estática como en el campo gravitatorio estático). El giro relativista del toro también se sumará a su masa relativista efectiva, haciendo que su efecto gravitacional parezca más fuerte que si no estuviera girando.
Saludos, Silas
