¿Alguien puede explicar esta ecuación (y de dónde viene el signo menos)?

Proviene de la forma en que los derivados parciales se manejan a través de los determinantes de Jacobi. (Recuerde, la regla de la cadena simple es para derivados ordinarios).

En el lado izquierdo, expresas P en términos de T y V. Existe la identidad

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial (P, V)} {\ partial (T, V)} = \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial T} \ right) _V \ left (\ frac {\ partial V} {\ partial V} \ right) _T – \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial V} \ right) _T \ left (\ frac {\ partial V} {\ partial T} \ derecha) _V = \ izquierda (\ frac {\ parcial P} {\ parcial T} \ derecha) _V, [/ matemática]

ya que

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {\ partial x} {\ partial x} \ right) _y = 1, \ qquad [/ math] y [math] \ qquad \ displaystyle \ left (\ frac {\ partial y } {\ partial x} \ right) _y = 0. [/ math]

En el lado derecho, está expresando todo en términos de P y T , lo que equivale a transformar la identidad anterior de la siguiente manera:

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial T} \ right) _V & = \ frac {\ partial (P, V)} {\ partial (T, V)} = \ frac {\ partial (P, V)} {\ partial (P, T)} \ frac {\ partial (P, T)} {\ partial (T, V)} \\ & = \ left [\ left (\ frac {\ partial P} {\ partial P} \ right) _T \ left (\ frac {\ partial V} {\ partial T} \ right) _P- \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial T} \ right) _P \ left (\ frac {\ partial V} {\ partial P} \ right) _T \ right] \\
& \ qquad {} \ times \ left [\ left (\ frac {\ partial P} {\ partial T} \ right) _V \ left (\ frac {\ partial T} {\ partial V} \ right) _T- \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial V} \ right) _T \ left (\ frac {\ partial T} {\ partial T} \ right) _V \ right] \\ & = – \ left (\ frac {\ partial V} {\ partial T} \ right) _P \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial V} \ right) _T. \ end {align} [/ math]