El modelo de partícula simple en una caja (PIAB) es sorprendentemente poderoso para describir muchas moléculas químicas simples. Por ejemplo, tome uno de los sistemas conjugados más simples: 1, 3-butadieno:
Podemos modelar esto como un PIAB 1-D bajo los supuestos de que la molécula es lineal y los electrones π están completamente deslocalizados. Entonces la longitud de la caja es la suma de las longitudes de enlace:
[matemáticas] l = (2 \ veces 135 + 2 \ veces 77 + 154) = 578 pm [/ matemáticas]
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Según el modelo PIAB, la energía del estado con número cuántico ‘n’ viene dada por:
[matemáticas] E_ {n} = \ frac {n ^ {2} h ^ {2}} {8m_ {e} l ^ {2}} [/ matemáticas]
Al distribuir los 4 electrones π de acuerdo con el principio de exclusión de Pauli, encontramos que el estado fundamental implica la ocupación de los estados n = 1 yn = 2. Por lo tanto, el primer estado excitado implica la excitación del estado n = 2 al estado n = 3. Luego, encontramos que el número de onda previsto para esta transición es:
[matemáticas] \ frac {1} {\ lambda} = \ frac {\ Delta E} {hc} = \ frac {h ^ {2}} {8m_ {e} l ^ {2}} (3 ^ {2} -2 ^ {2}) = 4.54 \ veces 10 ^ {4} cm ^ {- 1} [/ matemática]
Este valor está muy de acuerdo con el valor observado experimentalmente de:
[matemáticas] (\ frac {1} {\ lambda}) _ {exp} = 4.61 \ veces 10 ^ {4} cm ^ {- 1} [/ matemáticas]
Otros polienos lineales, así como tintes de cianina, se han modelado de manera similar con el modelo 1D PIAB.
Los modelos PIAB de mayor dimensión también son útiles para modelar sistemas químicos. Por ejemplo, considere la molécula de benceno aromático:
Una vez más, suponiendo una deslocalización completa de los electrones π, esto puede ser modelado por la partícula en un modelo de anillo, una modificación de la partícula 2D en un modelo de caja. Usando coordenadas polares, se puede demostrar que el valor propio de energía para dicho modelo viene dado por:
[matemáticas] E_ {n} = \ frac {n ^ {2} h ^ {2}} {8I} [/ matemáticas]
donde estoy el momento de inercia. Suponiendo que el benceno sea un anillo de radio R, esto se reduce a:
[matemáticas] E_ {n} = \ frac {n ^ {2} h ^ {2}} {8mR ^ {2}} [/ matemáticas]
donde la circunferencia del anillo, 2πR, se puede estimar como 6 veces la distancia de enlace CC en benceno (139 pm). La absorción de longitud de onda más larga se puede calcular para que sea:
[matemáticas] \ lambda = \ frac {h ^ {2}} {8mR ^ {2}} (2 ^ {2} -1 ^ {2}) = 210 nm [/ matemáticas]
La longitud de onda observada experimentalmente es de 260 nm.
Además de los ejemplos anteriores, la partícula en un marco de caja se ha aplicado con éxito a muchas otras especies químicas, como el átomo de hidrógeno y el buckminsterfullereno que usan el modelo 3D.
Espero que esto sea útil.