¿Qué son observables, operadores y hamiltonianos? ¿Cuáles son hermitianos y cuáles son unitarios?

Respuesta corta –

Los hamiltonianos son observables. (El valor observado es la energía).
Los observables son operadores hermitianos. (y cada operador hermitiano define un observable).

Muchas veces un operador Hermitian es un operador anti-Hermitian, y viceversa.
El exponencial de múltiplos de un operador anti-Hermitiano es un grupo de operadores unitarios de un parámetro, y cada grupo de operadores unitarios de un parámetro surge de esta manera.

Respuesta menos corta

¿Qué son los operadores?

Las ecuaciones diferenciales lineales suelen tener infinitas soluciones linealmente independientes. Cuando se abstrajo el estudio de operadores diferenciales en espacios de funciones, se eliminó el modificador ‘diferencial’. Como las funciones se pueden agregar, al igual que los vectores, y multiplicarse por números, al igual que los vectores, los espacios de funciones se abstraen como simples espacios vectoriales, generalmente de dimensión infinita. Los “operadores” son solo mapas lineales (piensa en matrices) en espacios vectoriales. La sutileza es que los operadores interesantes, en espacios dimensionales infinitos, generalmente no están definidos para todos los vectores posibles. Por ejemplo, dado que no todas las funciones son diferenciables, no se define un operador diferencial en todas las funciones, solo en aquellas que tienen suficientes derivadas, entre otras condiciones.

Los espacios vectoriales generalmente deben satisfacer una condición técnica de “integridad”, lo que significa que cualquier secuencia que pueda converger, converja, según lo definido por algo llamado criterio de Cauchy, y que también tenga una función de distancia de buen comportamiento. Tales espacios se llaman espacios de Hilbert

¿Qué es un operador unitario?

Un operador unitario es un operador definido en un espacio complejo de Hilbert, que conserva la distancia, es decir que la longitud de cualquier vector será igual a la longitud de la imagen de ese vector bajo la acción del operador.

¿Qué es un operador hermitiano?

En dimensiones finitas, es una matriz simétrica real más i veces una matriz antisimétrica real. Si representa el producto interno (“producto puntual”), entonces = es la ecuación que define la Hermiticidad. En dimensiones infinitas, existe una condición técnica adicional, que el dominio de H, que no necesita ser todos los vectores, es lo más grande posible.

Una razón probable por la que la naturaleza usa espacios complejos de Hilbert es porque, en el mundo complejo, unitario y hermitiano son facetas diferentes de la misma cosa. H es ermitaño si y solo si iH es anti-ermitaño si y solo si exp (2 pi it H) es un grupo unitario. Los grupos unitarios son lo central, corresponden a simetrías del sistema, cosas como traslaciones en el espacio y el tiempo, rotaciones o cambios en el marco de referencia. De estos, la traducción en el tiempo suele ser central: corresponde al paso del tiempo, y el operador hermitiano correspondiente al grupo de traducción en el tiempo se llama hamiltoniano, porque corresponde a la energía expresada en términos de impulso debido a Hamilton , que en mecánica clásica es el generador de la traducción del tiempo.

¿Qué son los observables?

Los observables responden preguntas sobre un sistema, como ‘¿es la energía entre E1 y E2? “O” ¿es el impulso en la dirección x entre p1 y p2? ”

Matemáticamente, esta idea se traduce en el concepto de “medida espectral”, y el hecho matemático central es que los operadores hermitianos son exactamente aquellos que corresponden directamente a las medidas espectrales. La fórmula que captura esto expresa como una integral de las proyecciones de a y b asociadas con esa medida, multiplicadas por la variable de integración.

El hecho de que las simetrías del sistema sean esencialmente lo mismo que los observables del sistema es una peculiaridad de los números complejos. No es cierto usando solo números reales.