Un estado propio es un estado cuántico cuya función de onda es una función propia del operador lineal que se corresponde con un observable. El valor propio de esa función de onda sería la cantidad que observa cuando mide ese observable (el valor propio podría ser una cantidad vectorial). Entonces, si midieras ese observable, observarías el mismo resultado cada vez.
Por ejemplo, digamos que el estado [math] | \, \ psi \ rangle [/ math] es un estado propio momentum. Eso significa que su función de onda es una función propia del operador [math] \ hat {p} [/ math]. Esto significa que si medimos el impulso de nuestro sistema, observaremos el mismo resultado cada vez. Por la relación de De Broglie, sabemos que el impulso es directamente proporcional al vector de onda de propagación de la materia. Entonces, en el espacio de posición (más fácil de visualizar), la función de onda de este sistema sería una onda plana con un vector de onda fija, [math] \ mathbf {k} [/ math],
[matemáticas] \ langle \ mathbf {x} \, | \, \ psi \ rangle = e ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x} – \ omega t)}. [/ math]
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En el espacio de posición, el operador de impulso dado por
[math] \ hat {\ mathbf {p}} = -i \ hbar \ nabla, [/ math]
asi que, por lo tanto
[matemáticas] \ langle \ mathbf {x} \, | \, \ hat {\ mathbf {p}} \, | \, \ psi \ rangle = -i \ hbar \ nabla \ left (e ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x} – \ omega t)} \ right) [/ math]
[math] = \ hbar \ mathbf {k} [/ math] [math] e ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x} – \ omega t)}. [/ math]
Recuerde la relación de Broglie: [math] \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k}. [/ Math]
Asi que, por lo tanto
[matemáticas] \ langle \ mathbf {x} \, | \, \ hat {\ mathbf {p}} \, | \, \ psi \ rangle = \ mathbf {p} e ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x} – \ omega t)}. [/ math]
Como puede ver, la función de onda de un sistema cuántico con un momento definido es una función propia del operador de momento.
