La transformación de Hilbert es una operación de convolución en el dominio del tiempo. Básicamente, se trata de convolucionar una función x (t) en el dominio del tiempo con una función estándar, 1 / (pi * t). La principal implicación de esto es que en el dominio de la frecuencia, las frecuencias positivas en el espectro de x (t), X (f) sufren un cambio de fase de -90 grados, mientras que las frecuencias negativas sufren un cambio de fase de 90 grados, con La magnitud sigue siendo la misma. Esta propiedad de Hilbert Transform tiene aplicaciones generalizadas en la señalización SSB, donde solo se necesita transmitir una banda lateral, así como en otros esquemas de señalización. Pero, todo eso es otra historia, y no es relevante para su pregunta.
Esencialmente, querías saber por qué Hilbert Transform involucra convolución en el dominio del tiempo. Bueno, como sabemos, cualquier operación en el dominio del tiempo tendrá su representación del dominio de frecuencia y Hilbert Transform no es una excepción. La realización de dicha convolución en el dominio del tiempo multiplica el espectro de la señal con el de -jsgn (W) en el dominio de la frecuencia, donde W representa la frecuencia angular y sgn es la función de señal, y j es responsable de los cambios de fase mencionados. (Cambio de frecuencias positivas en -90 grados y frecuencias negativas en 90 grados). La propiedad del cambio de fase que mencioné anteriormente se puede verificar fácilmente desde esta representación de la Transformada de Fourier.
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