Las soluciones a la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas, y la ecuación se refiere explícitamente a los extremos de la función en cuestión.
Entonces, si tengo una función [math] \ phi: U \ longrightarrow \ mathrm {R} [/ math] que obedece la ecuación de Laplace, por definición, sé que los máximos / mínimos de esta función existen solo en el límite de [math ] U [/ matemáticas]. Entonces, si [math] \ phi = \ phi (\ textbf {x}) [/ math], sé que si elijo algunos [math] x [/ math] al azar, [math] \ phi (\ textbf {x } – \ epsilon) \ leq \ phi (\ textbf {x}) \ leq \ phi (\ textbf {x} + \ epsilon) [/ math] para algunos [math] \ epsilon \ en U [/ math].
El punto es que si elijo un argumento aleatorio de esta función y veo lo que sucede si regreso a un punto [matemático] \ phi (\ textbf {x ‘}) [/ matemático] y luego a un punto [matemático] \ phi (\ textbf {x ”}) [/ math], la ecuación de Laplace garantiza que tanto [math] \ phi (\ textbf {x ‘}) [/ math] como [math] \ phi (\ textbf {x’ ‘}) [/ math] no puede ser menor o mayor que [math] \ phi (\ textbf {x}). [/ math]
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Esta es la idea básica detrás de las funciones armónicas. Esto se puede generalizar a dimensiones superiores. Lo siento, no sé suficientes matemáticas para probar rigurosamente estas afirmaciones, sin embargo, las ideas intuitivas siguen siendo las mismas.
Además, de hecho, [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas] tiene un mínimo en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] pero no satisface la ecuación de Laplace. El punto importante a entender aquí es que la ecuación de Laplace requiere que sea cierta en todos los puntos y no solo en uno, como es el caso de [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas].
