La contribución más conocida de Max Born a la mecánica cuántica fue su propuesta de que la función de onda, o más bien su módulo cuadrado, debería interpretarse como la densidad de probabilidad para encontrar el sistema en un estado dado en un momento dado. Sin embargo, también propuso cuatro condiciones en la función de onda que se utilizan para encontrar muchas soluciones de la ecuación de Schrödinger. Como siempre, es útil escribir la ecuación de Schrödinger (en una dimensión) para que podamos ver cómo encajan las condiciones de Born.
Las condiciones de Born que se impondrán en la función de onda son:
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- La función de onda debe tener un solo valor. Esto significa que para cualquier valor dado de y, debe tener un valor único. Esta es una forma de garantizar que solo hay un valor único para la probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado determinado. En realidad, si es una función matemática adecuada, cumplirá este requisito automáticamente, ya que una condición que todas las funciones deben cumplir es que tengan un solo valor. El ejemplo más común de una ‘función’ (que no es realmente una función) encontrada por la mayoría de los estudiantes de matemáticas de pregrado es el seno inverso (o arcosin), que da el ángulo correspondiente a un valor particular. Por lo tanto, cualquier múltiplo de tiene un seno de 0, por lo que, en principio, el seno inverso podría dar a cualquier múltiplo de su valor y, por lo tanto, parece que esta es una función de valores múltiples. Sin embargo, en la práctica, solo se usa el rango de 0 (inclusivo) a (exclusivo) en la función arcsin ‘adecuada’.
- La función de onda debe ser integrable al cuadrado. En otras palabras, la integral de sobre todo el espacio debe ser finita. Esta es otra forma de decir que debe ser posible usarlo como densidad de probabilidad, ya que cualquier densidad de probabilidad debe integrarse en todo el espacio para dar un valor de 1, lo que claramente no es posible si la integral de es infinita. Una consecuencia de esta propuesta es que debe tender a 0 para distancias infinitas.
- La función de onda debe ser continua en todas partes. Es decir, no hay saltos repentinos en la densidad de probabilidad al moverse por el espacio. Si una función tiene una discontinuidad, como un paso brusco hacia arriba o hacia abajo, esto puede verse como un caso limitante de un cambio muy rápido en la función. Un cambio tan rápido significaría que la derivada de la función era muy grande (ya sea un número positivo o negativo muy grande). En el límite de una función de paso, esto implicaría una derivada infinita. Dado que el momento del sistema se encuentra utilizando el operador de momento, que es una derivada de primer orden, esto implicaría un momento infinito, que no es posible en un sistema físicamente realista. Tal derivada infinita también violaría la condición 4.
- Todas las derivadas de primer orden de la función de onda deben ser continuas. Siguiendo el mismo razonamiento que en la condición 3, una primera derivada discontinua implicaría una segunda derivada infinita, y dado que la energía del sistema se encuentra utilizando la segunda derivada, una primera derivada discontinua implicaría una energía infinita, que nuevamente no es físicamente realista .
Sin embargo, una vez declaradas las condiciones de Born, debemos tener en cuenta que varios sistemas comúnmente estudiados en cursos introductorios de mecánica cuántica violan uno o más de ellos. Por ejemplo, el sistema ‘partícula en una caja’ está compuesto por una partícula que se mueve en una caja con lados infinitamente altos, representada por una función potencial que es cero en un área limitada e infinita fuera de esta área. En dicho sistema, la tercera condición (continuidad de la función de onda) se impone para encontrar una solución, pero la solución así encontrada viola la cuarta condición, ya que la derivada de la función de onda no es continua en el límite de la caja.
Sin embargo, la partícula en una caja claramente no es un sistema físicamente realista, ya que no se conoce un mecanismo físico que pueda generar un pozo de potencial infinitamente profundo. A pesar de eso, el sistema sigue siendo útil como modelo de algunas situaciones de la vida real en las que se encuentra una partícula en un pozo muy profundo. Y, por supuesto, la partícula en una caja proporciona una forma relativamente indolora de introducir muchos de los conceptos de la mecánica cuántica, por lo que es útil heurísticamente, incluso si no es del todo realista.
Es bastante extraño que la mayoría de los libros de texto pasen por alto estas condiciones (bueno, generalmente mencionan el cuadrado integrable ya que es esencial para usar la función de onda como densidad de probabilidad) simplemente afirmando que la función de onda y sus derivados deben ser continuos, sin explicando por qué.
Espero que esto ayude.
Fuente -: Función de onda: condiciones de Born
