La es la integral gaussiana y es un problema bastante estándar. No existe una integral indefinida en términos de funciones elementales, pero la integral definida de menos infinito a infinito es bien conocida.
[matemáticas] {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}} [/ math]
Para la integral de rango completo, el parámetro b no importa y [math] e ^ a [/ math] solo será un multiplicador constante de lo anterior.
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Para obtener la integral definida hay una técnica estándar. Básicamente implica establecer [matemáticas] I = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} [/ matemáticas]
e integrando [matemáticas] I ^ 2 [/ matemáticas] de dos maneras diferentes, una vez usando coordenadas polares y otra usando cartesianos uno. En coordenadas cartesianas tenemos
[matemáticas] \ int _ {x = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {y = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ 2)} \ , dx \, dy = \ int _ {x = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx \ int _ {y = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {2}} \, dy = I ^ 2 [/ matemáticas]
En coordenadas polares
[matemáticas] \ int _ {r = 0} ^ {\ infty} \ int _ {\ theta = 0} ^ {2 \ pi} e ^ {- (r ^ 2)} \, r \, dr \, d \ theta = \ pi [/ math]
Al igualar los dos se obtiene [matemática] I ^ 2 = \ pi [/ matemática] así que [matemática] I = \ sqrt {\ pi} [/ matemática].
