Encontrar las funciones propias de energía del átomo de hidrógeno unidimensional (1D) es un buen calentamiento para la solución 3D completa. Por átomo de hidrógeno 1D, supondré que quieres decir que el potencial en unidades atómicas es
[matemáticas] V (x) = – \ frac {1} {| x |} [/ matemáticas]
Entonces, la ecuación de valor propio que estamos tratando de resolver es
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(1) [matemáticas] – \ frac {1} {2} \ psi ” (x) – \ frac {1} {| x |} \ psi (x) = E \ psi (x) [/ matemáticas]
donde [math] \ psi (x) [/ math] es una función propia del operador hamiltoniano [math] H = – (1/2) (d ^ 2 / dx ^ 2) – 1 / | x | [/ math] con el valor propio de energía correspondiente [matemática] E [/ matemática]. Para tener estados unidos, necesitamos una energía negativa [matemática] E = – | E | [/ matemática].
El hamiltoniano es simétrico con respecto a la paridad ([math] x \ rightarrow -x [/ math]). Esto significa que si [math] \ psi (x) [/ math] es una solución, también lo es [math] \ psi (-x) [/ math]. Por lo tanto, siempre podemos expresar cualquier función propia como simétrica o antisimétrica con respecto a la paridad, [matemática] \ psi (-x) = \ pm \ psi (x) [/ matemática]. Por lo tanto, si encontramos una solución para [matemática] x> 0 [/ matemática], entonces tenemos automáticamente la solución para [matemática] x 0 [/ matemáticas].
Puede ver que para grandes positivos [matemáticas] x [/ matemáticas], la ecuación se convierte en
[matemáticas] – \ frac {1} {2} \ psi ” (x) = E \ psi (x) [/ matemáticas]
La solución limitada a esta ecuación es solo
[matemáticas] \ psi (x \ rightarrow \ infty) \ sim e ^ {- \ kappa x} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] E = – \ kappa ^ 2/2 [/ matemáticas]. Usaremos este comportamiento asintótico para escribir nuestra función propia como
[matemáticas] \ psi (x) = e ^ {- \ kappa x} \ phi (x) [/ matemáticas]
donde la nueva función [math] \ phi (x) [/ math] encapsula el comportamiento de la función como [math] x \ rightarrow 0 [/ math]. Si conecta esta expresión en (1) arriba, obtendrá [math] x> 0 [/ math]
(2) [matemáticas] – \ frac {1} {2} \ phi ” + \ kappa \ phi ‘- \ frac {1} {x} \ phi = 0 [/ matemáticas]
Ahora, tenemos una buena ecuación homogénea de segundo orden. Probemos una solución de serie de potencia. Debido al término [math] 1 / x [/ math], debemos comenzar la serie con un término lineal para garantizar que todos los términos estén limitados,
[matemáticas] \ phi (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n x ^ n [/ matemáticas]
Cuando conectas esto a (2), obtienes
[matemáticas] – \ frac {1} {2} \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} a_n n (n-1) x ^ {n-2} [/ matemáticas] [matemáticas] + \ kappa \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n nx ^ {n-1} [/ math] [math] – \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n x ^ {n-1} = 0 [/ matemáticas]
Podemos cambiar el índice en el primer término para que coincida con los poderes de los otros dos términos,
[matemáticas] – \ frac {1} {2} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n + 1} n (n + 1) x ^ {n-1} [/ matemáticas] [matemáticas] + \ kappa \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n nx ^ {n-1} [/ math] [math] – \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n x ^ {n-1 } = 0 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [- \ frac {1} {2} a_ {n + 1} n (n + 1) + [\ kappa n – 1] a_n \ right ] x ^ {n-1} = 0 [/ matemáticas]
Ahora, cada término en una serie de potencia es linealmente independiente, por lo que la única forma en que todos los términos pueden agregarse a cero es si cada término es independientemente cero. Esto nos da la relación,
[matemáticas] – \ frac {1} {2} a_ {n + 1} n (n + 1) + [\ kappa n – 1] a_n = 0 [/ matemáticas]
que es realmente una relación de recursión
(3) [matemáticas] a_ {n + 1} = \ frac {2 [\ kappa n – 1]} {n (n + 1)} a_n [/ matemáticas]
Esta relación de recursión determina la serie de potencia para [math] \ phi (x) [/ math] y por lo tanto determina la solución [math] \ psi (x) [/ math].
Puedes preguntar “¡Espera! ¿Dónde está la cuantización?” Eche otro vistazo a nuestra relación de recursión (3). Para grandes [matemáticas] n [/ matemáticas], obtenemos
[matemáticas] a_ {n + 1} \ sim \ frac {2 \ kappa} {n} a_n [/ matemáticas]
o
[matemáticas] a_ {n} \ sim \ frac {(2 \ kappa) ^ n} {n!} a_0 [/ matemáticas]
Pero estos son los coeficientes para la función exponencial,
[matemáticas] a_0 e ^ {2 \ kappa x} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_0 \ frac {(2 \ kappa x) ^ n} {n!} [/ matemáticas]
lo que significa que nuestras funciones propias deben divergir (!) para grandes [matemáticas] x [/ matemáticas] (donde dominan los términos grandes [matemáticas] n [/ matemáticas]),
[matemáticas] \ psi (x \ rightarrow \ infty) \ sim e ^ {- \ kappa x} e ^ {2 \ kappa x} = e ^ {\ kappa x} [/ math]
Esto no es físicamente posible (nuestras funciones de onda deben ser normalizables). La única forma de evitar esto es asumir que la serie termina en algún valor máximo de [math] n = m [/ math]. Eso es para todos [math] n> m [/ math], tenemos [math] a_n = 0 [/ math]. Mirando una vez más nuestra relación de recursión (3), vemos que esto sucede cuando [math] \ kappa [/ math] es el recíproco del entero [math] m [/ math],
[matemáticas] \ kappa_m = \ frac {1} {m} [/ matemáticas] o [matemáticas] E_m = – \ frac {1} {2m ^ 2} [/ matemáticas]
Estos son los únicos valores propios de energía físicamente permitidos, y las funciones propias correspondientes son las únicas funciones de onda permitidas.
Este mismo método se usa para resolver la parte radial de la ecuación de Schodinger 3D para el átomo de hidrógeno. Sorprendentemente (o no), en realidad obtuvimos el mismo espectro (aparte de quizás un factor de 2; ver la fórmula de Rydberg).
