La respuesta de Terry Moore es adecuada. Solo lo reformularé un poco.
Como él dijo, el homeomorfismo es una noción matemática pero tiene importancia para la física. Matemáticamente, es exactamente lo que escribió Terry Moore. Dos objetos son homeomorfos si puedes deformarte continuamente uno en otro.
Imagina un círculo y una elipse. Puede estirar ligeramente el círculo, solo un poquito, en una dirección, lo que lo convierte en una elipse que es casi un círculo. Luego puedes estirarlo ligeramente de nuevo, convirtiéndolo en una elipse más excéntrica. Al iterar el proceso, puede deformar cualquier círculo en cualquier elipse. Esto se llama deformación continua y si es posible encontrar tales deformaciones continuas del objeto A en el objeto B, decimos que A y B son homeomórficas. El mapeo, que envía el objeto A al objeto B se llama homeomorfismo.
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Mediante el homeomorfismo, puede cambiar la forma de un objeto arbitrariamente, pero debe preservar algunas propiedades que se denominan invariantes topológicos. Volviendo a nuestro ejemplo con un círculo, puede cambiar la forma del círculo que desee, pero seguirá siendo una curva cerrada. Puede ser un triángulo, un paralelogramo o una forma de hogar, pero sigue siendo una curva cerrada.
¿Se puede producir un segmento de línea por un homeomorfismo? No, no puedes, porque para hacer eso, debes eliminar un punto del círculo. Entonces la curva cerrada se abre. Después de esta eliminación, puede cambiar la forma de la curva nuevamente, y puede producir un segmento de línea recta, o cualquier otra curva que no esté cerrada. Sin embargo, la operación de eliminar el punto de un círculo no es un homeomorfismo, porque no se puede eliminar un punto de forma continua. La curva está cerrada o abierta, no hay transición entre las dos posibilidades (en contraste, hay una transición continua entre el círculo y la elipse). Entonces, la eliminación de un punto no es un homeomorfismo, porque no es una deformación continua.
Otro ejemplo es una esfera. Esta es una superficie cerrada. Puede deformarlo en un elipsoide, en un cubo o lo que sea, pero no puede eliminar los puntos. En particular, puede estirar la esfera en alguna dirección, posiblemente hasta el infinito, pero todavía habrá 2 capas (que originalmente eran el hemisferio superior y el hemisferio inferior). Tan pronto como elimines un solo punto (que ya no es un homeomorfismo), obtienes una superficie que no está cerrada (porque puedes escapar del interior de una esfera a través del punto eliminado). Entonces puedes deformar dicha esfera con un punto perdido en un plano.
Matemáticamente, la definición de homeomorfismo se basa en la noción de espacio topológico. El espacio topológico es simplemente un conjunto de puntos en los que tiene sentido definir qué es el conjunto abierto . El interior del círculo es un conjunto abierto, pero el disco (interior del círculo + el círculo mismo) es un conjunto cerrado. Otro ejemplo es el intervalo abierto (a, b) frente al intervalo cerrado [a, b]. El primero no contiene los límites ayb, mientras que el último sí. El mapeo continuo es tal que la imagen previa de cualquier conjunto abierto es nuevamente un conjunto abierto. El homeomorfismo es un mapeo continuo que tiene un inverso (para que pueda deshacer la deformación …) y ese inverso también es continuo (… de manera continua).
Para la física, el espacio topológico suele ser un conjunto demasiado general. La configuración más típica es una variedad que es un espacio topológico en el que puede definir algunas coordenadas.
La variedad más familiar es el espacio euclidiano simple (digamos, bidimensional, es decir, un plano). Puede introducir coordenadas cartesianas (x, y) para que cualquier par de coordenadas (x, y) corresponda exactamente a un punto del plano y viceversa. Sin embargo, a menudo sucede que no puede introducir coordenadas cartesianas. Por ejemplo, en la esfera no tiene sentido introducir x, y, z, sino que introduces algo como coordenadas esféricas [matemáticas] r, \ theta, \ phi [/ matemáticas] (¡pero no es la única posibilidad!). Sin embargo, en la esfera, tales coordenadas solo funcionan en algún subconjunto abierto de la esfera, nunca pueden funcionar en toda la esfera. Supongo que está familiarizado con las coordenadas esféricas. El polo norte se identifica con [math] \ theta = 0. [/ math] Pero tenga en cuenta que para [math] \ theta = 0 [/ math], no tiene que especificar [math] \ phi [/ math] . Cualquiera que sea [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] que elijas, sigue siendo el polo norte. Por lo tanto, no existe una correspondencia única entre los valores de coordenadas y puntos de la esfera.
El resultado es que en el espacio general no puede encontrar tales coordenadas que están en correspondencia 1–1 con los puntos de ese espacio y son continuas.
Lo que puede hacer es introducir las coordenadas siempre solo en un subconjunto del espacio. Si quita el polo norte de la esfera, puede introducir coordenadas con buen comportamiento. Eso es genial, pero luego se pierde el polo norte y, por lo tanto, también debe introducir otras coordenadas donde faltará otro punto y el polo norte estará cubierto.
Para resumir, la variedad es un espacio topológico que se parece localmente al espacio cartesiano, pero para cubrirlo globalmente, debe introducir varios gráficos de coordenadas que juntos cubren todo el espacio, pero en cada gráfico tiene coordenadas diferentes. Por supuesto, hay regiones donde los gráficos se superponen y sus coordenadas deben cumplir algunas condiciones de compatibilidad en esos solapamientos para que la construcción tenga sentido. (Por ejemplo, imagine que tiene un mapa de Francia y un mapa de Alemania. Si desea cruzar las fronteras, también necesita un mapa de Francia que cubra parcialmente Alemania y viceversa. La información sobre las carreteras en esta superposición debe ser coherente con ambos mapas de F. y G.)
Si tal cobertura de un espacio topológico por varios sistemas de coordenadas es posible, el espacio topológico se llama múltiple. Matemáticamente, las coordenadas son de hecho homeomorfismos de algún conjunto abierto de la variedad a algún conjunto abierto de números reales.
En física clásica, no tenemos que preocuparnos por estas sutilezas matemáticas. Incluso si usamos coordenadas esféricas que se descomponen en el polo norte, todavía sabemos que el mundo real es tridimensional y podemos usar coordenadas cartesianas. Entonces, incluso si las coordenadas son de alguna manera singulares en algunos puntos, nuestra perspectiva tridimensional siempre nos dirá dónde podemos esperar algunos problemas.
En relatividad general, este ya no es el caso. Un buen ejemplo es un agujero negro. El observador que se encuentra sobre el agujero negro puede usar sus coordenadas para describir cualquier cosa que ocurra sobre el horizonte. Pero cuando observa que un cohete cae en el agujero negro, nunca verá que el cohete cruza el horizonte. Verá el cohete que se acerca al horizonte, su luz cambia a rojo debido a la dilatación del tiempo y, finalmente, las señales del cohete son tan débiles que el observador externo no puede ver nada. Esto sucede justo en el horizonte.
Sin embargo, desde la perspectiva del cohete, no sucede nada especial y el cohete cruza el horizonte y termina en la singularidad. Matemáticamente, esto significa que las coordenadas del observador externo no cubren la región debajo del horizonte. Por lo tanto, es importante analizar la situación en diferentes sistemas de coordenadas, uno asociado con el observador externo y otro asociado con el cohete que cae. Estas coordenadas cubren diferentes partes del colector que representan el agujero negro. Entonces, el espacio-tiempo es localmente homeomorfo a [matemático] R ^ 4 [/ matemático], pero no puede cubrirlo globalmente con un solo sistema de coordenadas (de hecho, puede, pero estas coordenadas son realmente extrañas).
Este es un ejemplo cuando la noción matemática del homeomorfismo es realmente importante para la física.
