En matemáticas hay dos significados de singularidad que se usan con mayor frecuencia. Uno es en el análisis complejo donde si una función es analítica (tiene una derivada) cerca de un punto z pero no está definida en z, se dice que tiene una singularidad en z. La singularidad es removible si hay un valor que se puede asignar que lo hace analítico también en z. Por ejemplo, [math] \ sin z / z [/ math] tiene una singularidad removible para [math] z = 0 [/ math] que puede eliminarse usando un valor de 1 allí (que es el límite en 0).
El segundo concepto matemático aparece en la geometría algebraica, donde un punto no liso se llama singularidad. Por ejemplo, un cono doble como [math] z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ math] tiene una singularidad en su vértice [math] (0,0,0) [/ math].
El concepto en relatividad general es algo así como el concepto en geometría algebraica. La relatividad general se ha formulado para decir que el espacio-tiempo es una variedad de 4 dimensiones. “Múltiple” es un término matemático para una estructura geométrica. Es paralelo al concepto de superficie algebraica. (En ruso se usa un término que se traduce literalmente como “variedad algebraica”.) Sin embargo, se supone que los colectores (a menos que uno diga “variedad con límite”) son suaves en todas partes. El doble cono no es un múltiple (y tampoco es un “múltiple con límite”) pero la parte que excluye el vértice sí lo es.
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Hay, creo, una definición técnica de singularidad, pero intuitivamente un modelo de espacio-tiempo tiene una singularidad si uno tiene una característica como el vértice faltante de un cono al que le gustaría referirse como un “lugar” en la superficie pero las reglas no te dejan. El centro de un agujero negro, por ejemplo, es probable que aparezca en un diagrama de un agujero negro. Según la relatividad general, sin embargo, no hay puntos de espacio-tiempo allí. La línea del mundo de una partícula que cae se define solo por un tiempo limitado y no existe el hecho de que golpee la singularidad (aunque es muy tentador hablar como si la hubiera).
No hay un “desglose” de las reglas en una singularidad; las reglas le dicen que el espacio-tiempo es un cierto tipo de variedad, y esta tentación de agregar puntos para una imagen más intuitiva no es una objeción a eso. Sin embargo, las matemáticas son un instrumento flexible para la física. Hay una multitud de alternativas al concepto de “múltiple” que podrían incorporar singularidades. La idea de la geometría algebraica impone el requisito de ser algebraico que probablemente no queremos, pero es posible tener algo así como una variedad pero no necesariamente suave en todas partes. Hasta donde sé, los físicos no han visto que esto sea útil quizás porque no aumentaría el poder explicativo de la teoría.
La combinación de la relatividad general con la mecánica cuántica es probable que dé como resultado que las singularidades se modelen de una manera diferente, como lo sería todo lo demás.
