¿Por qué no está presente el tensor de curvatura de Riemann en las ecuaciones de campo de Einstein?

En primer lugar, lo hacen, simplemente no son dinámicos (en el sentido de que no se obtienen directamente). Las ecuaciones de Einstein no estarán completas hasta que impongas la identidad de Bianchi, que es

[matemáticas] R ^ {\ alpha} _ {\ beta [\ mu \ nu; \ rho]} = 0 [/ math].

Obviamente, esto implica el tensor de curvatura de Riemann completo. Esto es similar al comportamiento del tensor de campo electromagnético (excepto con rangos adicionales en todas partes): en E&M, tenemos

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[matemáticas] \ parcial _ {\ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} = j ^ {\ beta} [/ matemáticas]

que limita claramente los grados de libertad de [matemáticas] F ^ {\ alpha \ beta} [/ matemáticas] que se unen para importar a través de la actual [matemáticas] j ^ {\ beta} [/ matemáticas].

Creo que la respuesta más fundamental que tenemos a esta pregunta es que las ecuaciones de campo formuladas por Einstein provienen de una acción (la acción de Einstein-Hilbert) que solo induce estos términos. Específicamente, si tomas (voy a ignorar la materia por el momento y consideraré la solución de vacío)

[matemática] S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [R -2 \ Lambda \ right] [/ math]

obtienes las ecuaciones de campo de Einstein [matemáticas] G _ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ Lambda = 0 [/ matemáticas]. Lo anterior es la descripción ‘más simple’ de una teoría que incorpora las contracciones invariantes de Lorentz del tensor de curvatura de Riemann, por lo que, en cierto sentido, no es sorprendente, por la Navaja de Occam, que podamos detenernos allí.

Los otros grados de libertad en el tensor de curvatura de Riemann no contenidos en [matemática] G _ {\ mu \ nu} [/ matemática] están en el tensor de Weyl [matemática] C _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} [/ matemática] . Agregar contracciones que involucren este tensor (como [matemática] C _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} C ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} [/ matemática]) a la acción dará como resultado teorías de gravedad donde estos extra Los grados de libertad son sensibles a la materia.

Ahora, podríamos preguntar por qué una teoría de la gravedad no se uniría a estos otros grados de libertad. Algunas razones que daría si continuara, digamos, un examen de calificación (aunque ninguno de estos es definitivo):

1. Dicha teoría de la gravedad implicará 4 derivadas de la métrica (ya que sería una ecuación de segundo orden para la curvatura, que ya es 2 derivadas de la métrica). Hay buenas razones para pensar que las ecuaciones dinámicas para observables físicos serán, como máximo, de segundo orden; Los problemas comunes con 4 teorías derivadas son la causalidad y la unitaridad.
2. El tensor de Weyl (y los grados de libertad que representa) es invariablemente conforme, lo que podría evitar cualquier interacción simple con la energía del estrés, que no es invariante conforme.
3. Los grados de libertad ‘ocultos’ que representa el tensor de Weyl permiten una curvatura no trivial en ausencia de materia, lo cual es importante para la propagación de efectos gravitacionales a través del espacio vacío. La desaparición del tensor de Weyl en 2 dimensiones se afirma comúnmente en los textos introductorios para implicar que no puede haber gravedad en 2 dimensiones, ya que sin grados de libertad no desaparecidos, la curvatura desaparecería en el vacío; en otras palabras, la gravedad no podría propagarse a través del espacio vacío.