¿Por qué el Mandelbrot establece un fractal?

La palabra “fractal” solo se define libremente, pero todos están de acuerdo en que los fractales comparten dos tipos generales de propiedades:

• Dimensión fractal : un fractal tiene una dimensión fractal (Hausdorff) que excede su dimensión topológica. Hablando en términos generales, esto significa que un fractal es tan infinitamente “irregular” que al escalarlo aumenta su medida más rápido de lo que cabría esperar de un no fractal.

• Auto-similitud : el acercamiento a un fractal produce imágenes que son similares (ya sea de manera exacta o de alguna manera aproximadamente) en escalas muy variables.

El conjunto de Mandelbrot tiene propiedades fractales de ambos tipos.

Dimensión fractal

El límite de una forma suave típica en el plano es unidimensional. Esto significa que un círculo de radio [matemática] kr [/ matemática] es [matemática] k ^ 1 [/ matemática] veces más larga que un círculo de radio [matemática] r [/ matemática], y lo mismo para un triángulo cuadrado , o cualquier otra forma en la que probablemente puedas pensar.

Los fractales tienen un comportamiento más exótico. Por ejemplo, si escala el límite del copo de nieve de Koch por un factor de 3, puede organizar el resultado en 4 copias idénticas del límite original, por lo que la medida ha aumentado en un factor de 4, no 3. En general, si lo amplía en [matemáticas] k [/ matemáticas], la medida aumenta en un factor de [matemáticas] k ^ {\ log_3 4} [/ matemáticas]. Por lo tanto, decimos que el límite del copo de nieve de Koch tiene una dimensión [matemática] \ log_3 4 \ aprox 1.262 [/ matemática].

El conjunto de Mandelbrot es un caso extremo de este comportamiento. Su límite es en realidad bidimensional : si escala el conjunto de Mandelbrot en un factor de dos, la medida del límite aumenta cuatro veces . Esta es la dimensión más grande posible para una figura plana, e igual a la dimensión del conjunto de Mandelbrot. El conjunto de Mandelbrot está tan “lleno de baches” que podemos hablar de que su límite tiene un área , no una longitud, ¡y si esa área no es cero sigue siendo una pregunta abierta hasta el día de hoy!

Autosimilitud

El conjunto de Mandelbrot está lleno de pequeñas copias aproximadas de sí mismo. Te mostraré por qué esto es cierto, pero se volverá un poco técnico, así que desplázate hacia abajo si solo estás buscando fotos bonitas.

Deje [math] f_c (z) = z ^ 2 + c [/ math], y considere la serie de Taylor de [math] f_c ^ n [/ math] ([math] f_c [/ math] iterated [math] n [ / math] veces) para algunos enteros positivos [math] n [/ math]:
[matemáticas] f_c ^ n (z) = f_c ^ n (0) + \ tfrac12 (f_c ^ n) ” (0) z ^ 2 + O (z ^ 4) [/ matemáticas].
(No hay términos [matemática] z ^ 1 [/ matemática] o [matemática] z ^ 3 [/ matemática] porque [matemática] f_c [/ matemática] es una función par).

Si escalamos todo por un factor de [matemáticas] k = \ tfrac12 (f_c ^ n) ” (0) [/ matemáticas], terminamos con
[matemáticas] k f_c ^ n \ bigl (\ tfrac zk \ bigr) = \ tfrac12 (f_c ^ n) ” (0) f_c ^ n (0) + z ^ 2 + O (z ^ 4) [/ matemática]
[matemáticas] = f_ {g_n (c)} (z) + O (z ^ 4) [/ matemáticas],
donde [math] g_n (c) = \ tfrac12 (f_c ^ n) ” (0) f_c ^ n (0) [/ math].

Es decir, para pequeñas [matemáticas] z [/ matemáticas], tomar iteraciones [matemáticas] mn [/ matemáticas] de [matemáticas] f_c [/ matemáticas] funciona de manera muy similar a tomar iteraciones [matemáticas] m [/ matemáticas] de [matemáticas ] f_ {g_n (c)} [/ math] . Por lo tanto, podemos esperar que [math] g_n (c) [/ math] esté en el conjunto de Mandelbrot si f [math] c [/ math] está en algo que se parece mucho al conjunto de Mandelbrot.

Probemos esta teoría. A la izquierda están los puntos [matemática] c [/ matemática] con [matemática] g_4 (c) [/ matemática] en el conjunto de Mandelbrot, en comparación con el conjunto real de Mandelbrot a la derecha:
No está mal. Pero la aproximación se vuelve mucho mejor a escalas más pequeñas. Acerquémonos a una de las raíces de [math] f_c ^ 4 (0) = 0 [/ math], en este caso, la que está cerca de [math] -0.156 + 1.032i [/ math] (el pequeño punto negro cerca del parte superior de la imagen de arriba):

¡Hemos encontrado un conjunto de Mandelbrot para bebés , y de hecho se parece mucho a la versión transformada de todo el conjunto de Mandelbrot!

En general, cada conjunto de Mandelbrot bebé ocurre en una raíz [matemática] c = c_0 [/ matemática] de [matemática] f_c ^ n (0) = 0 [/ matemática]; aproximadamente se envía de vuelta a todo el conjunto de Mandelbrot bajo la transformación [math] g_n [/ math].

Esta transformación, como cualquier función analítica, es aproximadamente una rotación escalada cerca de [math] c_0 [/ math], también gracias a la serie Taylor:
[matemáticas] g_n (c) = g_n (c_0) + g_n ‘(c_0) (c – c_0) + O (c – c_0) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemática] \ aprox. g_n ‘(c_0) (c – c_0) [/ matemática] para [matemática] c \ aprox. c_0 [/ matemática].
(La multiplicación por [math] g_n ‘(c_0) [/ math] escala el plano complejo por [math] | g_n’ (c_0) | [/ math] y gira por [math] \ arg g_n ‘(c_0) [/ math ].)

No existe una definición rígida del término fractal que no sea el requisito matemático de que, independientemente de la escala en la que esté viendo un objeto fractal, eso muestre aspereza. La función Weierstrass es un ejemplo de esto, es aproximada, independientemente de la escala.

Muchos fractales hermosos también muestran auto-similitud en las mismas y diferentes escalas. El fractal a continuación es un ejemplo.

También hay fractales que muestran una auto-similitud aproximada en diferentes escalas, es decir, se ven patrones repetidos pero no son exactamente iguales. El conjunto de Mandelbrot tiene esta auto-similitud aproximada, incluso a la misma escala se ven bombillas similares, pero varían un poco.

Buena pregunta, el problema es que el fractal tiene dos significados.

El primero es algo con una dimensión fractal , que generalmente excluye formas euclidianas con dimensión fractal entera. Esto describe casi todos los fractales.

El segundo es una forma auto-similar , que es simétrica a escala o aproximadamente, estos son sólidos:

Estas formas pueden tener un borde que es fractal en el primer sentido, o no fractal como con ciertas formas de árbol 3D.

Estas dos definiciones son independientes, la definición de dimensión fractal no requiere que la forma sea auto-similar, y una forma auto-similar no siempre tiene una dimensión fractal para su tamaño o su borde.

Dado esto, el conjunto de Mandelbrot no es un fractal en el primer sentido, pero es un fractal en el segundo sentido. Sin embargo, creo que sería menos confuso si usáramos ‘fractal’ para el primer sentido (por ejemplo, el borde del conjunto de Mandelbrot es un fractal) y ‘forma auto-similar’ para el segundo sentido.

Si está buscando intuición sobre por qué el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia se ven de la manera en que lo hacen y por qué el espacio tiene la forma que es, le recomiendo que pase por la hermosa introducción de Steven Wittens: Cómo doblar un fractal de Julia

Sin embargo, asegúrese de usar un navegador decente, ya que se procesa a través de WebGL, pero la capacidad de ver todo desplegarse y renderizarse en tiempo real, incluso cuando cambia la perspectiva a través de la exposición, no tiene precio cuando se trata de desarrollar la intuición.

Pregunta original

¿El Mandelbrot establece un fractal?

Según la Wikipedia alemana, el conjunto de Mandelbrot parece ser un fractal porque el borde se parece a sí mismo, pero hay ligeras deformaciones, por lo que no es un fractal. Sin embargo, la página alemana de Wikipedia para “fractales” enumera el conjunto de Mandelbrot como un ejemplo de un fractal.

Sí, el conjunto de Mandelbrot es un fractal. La página de Wikipedia en alemán está equivocada.

Un fractal no necesita mostrar una perfecta similitud perfecta:

Un fractal es un objeto o cantidad que muestra auto-similitud, en un sentido algo técnico, en todas las escalas. El objeto no necesita exhibir exactamente la misma estructura en todas las escalas, pero el mismo “tipo” de estructuras debe aparecer en todas las escalas.

Fractal – de Wolfram MathWorld

De hecho, las definiciones técnicas no dicen nada sobre la similitud directamente, pero se expresan en términos de medidas como la dimensión de Hausdorff o la dimensión de capacidad.

Tome esta definición en MathWorld por ejemplo:

Los objetos cuya dimensión de capacidad es diferente de su dimensión de cobertura de Lebesgue se llaman fractales