(si alguien puede editar para formatear, estaré inmensamente agradecido. Estoy demasiado presionado por el tiempo para hacerlo ahora mismo).
Dependencia angular de phi:
Entonces … ¿cómo cambian los armónicos esféricos con respecto a phi? Nosotros
sabemos que phi es el argumento de exp (i * m * phi), y que cuando ajustamos esto, nosotros
obtener 1. Entonces m (o el valor de phi) no cambia la forma del esférico
armónico. Sin embargo, lo que m * puede * hacer es cambiar la fase de la esférica
armónico en función del ángulo polar theta.
Sabemos que phi puede variar de 0 a 2 * pi, y que theta varía
de 0 a pi.
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Ahora, intentaré explicar estos casos para l = 3, ya que tengo
diagramas para ellos.
Como ejemplo…
l = 3, m = 0 
Aquí, vemos que solo dependemos del ángulo polar
theta Entonces phi aquí no importa.
La forma del ángulo polar theta está determinada por el cuadrado de
la función Legendre asociada de l = 3, m = 0. Podemos ver que a 0 grados (o
en la parte inferior de la cosa, o el valor más negativo del eje z), el
La función Legendre está en su máximo, por lo que está más lejos del origen. Entonces como
theta varía de 0 a pi, baja, la función Legendre golpea un nodo,
luego tiene una elevación temporal de baja magnitud, lo que explica el rojo más bajo
lóbulo. Luego llega a cero nuevamente, y el patrón se repite para theta que va desde pi / 2
a pi.
Ahora, la información de fase está realmente contenida en el signo y
magnitud del polinomio de Legendre. Aquí, no hay dependencia de phi (como m
= 0), pero notamos que aqua representa un valor negativo, y que rojo
representa un valor positivo.
l = 3, m = 1 
Aquí, las cosas se ponen más interesantes. Primero lo primero, ahora solo
tenemos tres máximos de densidad de probabilidad a medida que aumentamos nuestra theta, también solo
tener 2 nodos
Ahora hay una dependencia de
fi. Y lo que básicamente sucede es que a medida que aumenta su theta (o polar
ángulo), básicamente haces una traducción horizontal del polinomio Legendre.
Entonces, ¿qué vemos aquí? Bueno, para baja theta, la fase (o altura)
se minimiza en phi = 0 = 2 * pi (o los puntos finales). Ahí es donde se ve azul.
Mientras tanto, a medida que aumenta theta y mira una theta de pi / 2, entonces, ¿qué hacemos?
¿ver? Bueno, las fases se han revertido por completo. Ahora el azul está en lo opuesto
lado de lo que solía ser. Y luego cuando miramos el último tercio de theta
(aunque no es exactamente un tercio, ya que los armónicos esféricos no son uniformemente
dividido) – las fases se ven exactamente idénticas a lo que fueron para el
primer tercio de los valores theta.
l = 3, m = 2 
Ahora solo tenemos 2 “regiones” ya que variamos theta de 0 a pi.
Básicamente, lo que sucedió es que ambas regiones son ahora polos opuestos.
el uno del otro. Y dado que nuestro valor de m es ahora 2, eso significa que ahora tenemos
al menos 2 máximos y 2 mínimos para cada “región”, ya que variamos nuestro phi de 0 a
2 * pi
l = 3, m = 3 
Ahora que vemos? Tres máximos y tres mínimos mientras ampliamos
a través de phi (3 azules y 3 rojos), tal como esperaríamos para un argumento más alto
en la función exp (i * m * phi). Y en cuanto a theta, solo va de un solo
mínimo en theta = 0, a un máximo en theta = pi / 2, al mínimo nuevamente en
theta = pi. 
==
Ahora, aquí hay otra ilustración interesante entre dos diagramas. 
