Básicamente, una simulación física implica aproximar las soluciones a ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial continua tiene una solución que es continua, y representarla numéricamente no se puede hacer exactamente en una computadora, ya que las computadoras tienen precisión finita y memoria finita. Es por eso que las soluciones son solo aproximaciones.
Existen muchas técnicas que se utilizan para encontrar soluciones aproximadas. Hay un enorme cobertizo de herramientas lleno de kits de herramientas que se utilizan para diferentes simulaciones. La herramienta que use depende del problema en cuestión. No puedo saber ni recordarlos todos. Solo mencionaré algunos que me vienen a la mente:
Integración numérica de EDO : cuando hay un número finito de grados de libertad (por ejemplo, simulando un sistema planetario) o en otras situaciones (por ejemplo, trazado de rayos), en lugar de ecuaciones diferenciales parciales, uno tiene ecuaciones diferenciales ordinarias. Estos son “sencillos” de tratar, utilizando integradores de propósito general (por ejemplo, Runge-Kutta o Bulirsch-Stoer) o aquellos adaptados al problema en cuestión (por ejemplo, integradores simplécticos o variacionales).
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Integración numérica PDE : cuando el dominio es continuo, hay un número infinito de grados de libertad, la matemática es la de ecuaciones diferenciales parciales. El número de grados de libertad debe ser finito para representar en la computadora. Esto se hace de una de muchas maneras diferentes:
- Diferencia finita: se elige un conjunto de puntos (generalmente en una cuadrícula regular, pero no es necesario que lo sean) para representar el dominio. Los valores se toman en estos puntos y las derivadas se discretizan: la ecuación diferencial se aproxima con una ecuación de diferencia. Hay muchos métodos con nombre para diferencia finita, por ejemplo, Crank-Nicolson y Lax-Wendroff.
- Elemento finito: en lugar de representar valores en puntos, la solución se trata como funciones por partes sobre la malla. Cada elemento puede representarse con algún número de coeficientes polinómicos o coeficientes armónicos (ver también métodos espectrales). No se nada de esto.
- Métodos espectrales: la solución se descompone en funciones básicas que son ortogonales o “lo suficientemente cercanas”, esto depende del problema que se simule. El atractivo de las técnicas espectrales es que tienden a tener una convergencia exponencial (en el número de coeficientes), en comparación con la diferencia finita o el elemento finito, que tienden a ser polinomiales (pero el elemento finito puede usar descomposiciones espectrales dentro de los elementos).
- Volumen finito: muchos problemas de fluidos pueden escribirse en la forma (derivada material de la cantidad) = (ganancia – pérdida). Las técnicas de volumen finito son las más adecuadas para conservar flujos en tales problemas. Las simulaciones de hidrodinámica y magnetohidrodinámica utilizan estos métodos. No se nada de esto.
Monte Carlo : aunque tiene un significado específico en estadística e integración, Monte Carlo también se entiende como técnicas probabilísticas. Esto se emplea cuando se encuentra una buena aproximación mediante un muestreo aleatorio (algo). Un ejemplo es el transporte de fotones en la representación: los fotones se dispersan con cierta distribución; en lugar de tratar de hacer una cuadrícula de ángulos y propagarse a lo largo de todas las direcciones en cada sitio de dispersión, muestree de la distribución de dispersión e intente obtener suficientes muestras para representar fielmente la dispersión.
Junto con estas técnicas generales, hay innumerables especializaciones de las técnicas para problemas especializados. Por ejemplo, simular la formación de estructuras a gran escala en cosmología es básicamente una integración de gravedad del cuerpo N. Sin embargo, al simular mil millones de partículas en un problema que fundamentalmente se escala como N [matemática] {} ^ 2 [/ matemática], debe usar algunas aproximaciones, como los códigos de árbol. Como otro ejemplo, la diferencia finita se puede usar para representar una ecuación diferencial elíptica, en cuyo caso el solucionador probablemente esté resolviendo iterativamente un problema de matriz dispersa muy grande a través del Gradiente Conjugado.
Con suerte, más personas aportarán respuestas y comenzará a surgir una imagen del vasto panorama de la simulación numérica.
