El operador de proyección [math] | x \ rangle \ langle x | [/ math] es un operador que le ofrece la proyección de un vector, digamos [math] | v \ rangle [/ math], en la “dirección” de la vector [math] | x \ rangle [/ math] veces [math] | x \ rangle [/ math], es decir, selecciona el componente del vector [math] | v \ rangle [/ math] que es “paralelo” al vector [matemáticas] | x \ rangle, [/ matemáticas]
[matemáticas] | x \ rangle \ langle x | \ | v \ rangle = \ langle x | v \ rangle | x \ rangle [/ math]
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La proyección del vector [math] \ mathbf {u} [/ math] en el vector [math] \ mathbf {v} [/ math] . En la notación de Dirac esto sería [matemáticas] | v \ rangle \ langle v | \ | u \ rangle [/ math] (dividido por [math] \ langle v | v \ rangle [/ math] si [math] | v \ rangle [/ math] no es un vector unitario).
Si eso sigue siendo confuso, demos un paso atrás. Si los vectores [math] | x \ rangle [/ math] forman una base completa en algún espacio vectorial [math] K [/ math], entonces cualquier vector [math] | v \ rangle \ in K [/ math] puede ser expresado como una combinación lineal de estos vectores básicos,
[matemáticas] | v \ rangle = \ sum_ {x} v_x | x \ rangle [/ math]
Si los vectores [math] | x \ rangle [/ math] son ortonormales, entonces los coeficientes están dados simplemente por el producto interno o escalar, [math] v_x = \ langle x | v \ rangle [/ math].
En mecánica cuántica, la mayoría de sus esfuerzos computacionales serán para encontrar estos coeficientes. Si conoce el operador [math] | x \ rangle \ langle x | [/ math], simplemente aplíquelo a su vector [math] | v \ rangle [/ math] y obtendrá el coeficiente multiplicado por un vector unitario , que en conjunto se llama proyección . Entonces, [math] | x \ rangle \ langle x | [/ math] se llama operador de proyección .
