¿Por qué hay tan pocos sistemas cuánticos solucionables?

Resulta que también es muy difícil resolver los sistemas de mecánica clásica. Hay una razón por la que los péndulos simples se presentan en cursos de introducción antes del péndulo físico real: es imposible de resolver a menos que desee considerar las integrales elípticas como ‘soluciones analíticas’. El péndulo doble exhibe un comportamiento caótico, con el que es aún más difícil trabajar. Cualquier sistema gravitacional con más de dos cosas se vuelve imposible de resolver analíticamente. Si alguna vez has tomado una clase de mecánica clásica, habrás notado que el conjunto de problemas que puedes resolver se vuelve repetitivo rápidamente. Existen razones por las que existen técnicas de perturbación y aproximaciones en la mecánica clásica, tal como lo hacen en la física cuántica.

La respuesta directa a su pregunta proviene del estudio de las ecuaciones diferenciales parciales, y es una pregunta matemática mucho más interesante que cualquier cosa de la física. Las soluciones a los sistemas cuánticos son soluciones a la ecuación de Schrodinger, que es una ecuación diferencial parcial de segundo orden en 4 variables. La razón por la que existen tan pocos sistemas cuánticos que se puedan resolver exactamente es porque es realmente difícil resolver exactamente ecuaciones diferenciales parciales. Probablemente entiendas eso mejor que yo, dado que eres estudiante de matemáticas.

Estás preguntando sobre un pequeño aspecto de la mecánica cuántica en su conjunto: las soluciones que se expresan en función de la posición. También podría tratar de resolver su sistema fácilmente en coordenadas de momento, el equivalente a la transformación de Fourier. Aún así, a menudo el verdadero poder de QM a menudo no está en resolver sistemas particulares, sino en responder preguntas sobre variedades increíblemente vastas de sistemas basados ​​simplemente en las simetrías que satisfacen. Por ejemplo, la invariancia rotacional de un sistema obliga a que ocurran muchas degeneraciones, algo que es directamente aplicable al estudio de los átomos alcalinos. Un ejemplo más genial: la invariancia de Lorentz (invariancia bajo transformaciones relativistas especiales) implica directamente la existencia de bosones y fermiones, y de las estadísticas asociadas, lo cual es absolutamente alucinante.

Como probablemente haya notado en su clase stat-mech, a menudo es muy adecuado tener soluciones aproximadas para un sistema. Debido al curso de las aplicaciones cotidianas en comparación con la escala cuántica, no necesitamos conocer la función de onda exacta de un trozo de metal para poder hacer predicciones sobre su conductividad o comprender cosas interesantes como el efecto Hall cuántico. Afortunadamente, hay muchos métodos numéricos y aproximaciones que podemos usar para determinar adecuadamente las propiedades de muchos sistemas cuánticos. La teoría de la perturbación en particular le permite calcular las soluciones a sistemas arbitrariamente cercanos a un sistema exactamente solucionable que es muy similar (generalmente el potencial 1 / r).

De todos los sistemas matemáticos posibles que podrían describir nuestro universo, somos muy afortunados de tener tantos sistemas exactamente solucionables que tenemos en Mecánica Cuántica. Si alguna vez analizas la teoría de campo cuántico, te horrorizarás aún más por el desorden que encuentres allí And (Y aún así, es la teoría predictiva más poderosa que ha surgido hasta ahora).

Consideremos un péndulo simple. Cuando sus oscilaciones son pequeñas, podemos aproximar [math] sin θ [/ math] como [math] θ [/ math] y obtener una fórmula simple. Cuando sus oscilaciones no son pequeñas, no podemos obtener una fórmula simple. Luego tenemos dos opciones: (1) Definir funciones personalizadas y obtener diferentes fórmulas en forma de estas funciones personalizadas para diferentes rangos de [math] θ [/ math]. (2) Realizar un análisis numérico para un caso dado.

El enfoque 1 hará crecer nuestro vocabulario de funciones personalizadas exponencialmente. Dado que la mayoría de estas funciones personalizadas serán subutilizadas, este enfoque no resultará rentable. El Enfoque 2 es más rentable en el manejo de una variedad de casos especializados.

El mundo no es tan simple como cabría esperar. Muchos fenómenos clásicos y cuánticos enfrentan el dilema y tienen enfoques como los descritos anteriormente.

La corrección y la rentabilidad son a menudo más importantes que la elegancia.

No es de extrañar por qué hay tan pocos sistemas cuánticos solucionables.

¿De qué estás hablando?

No hay sistemas solucionables en mecánica cuántica y probablemente todo lo demás también.

Esos son ejemplos pedagógicos diseñados para enseñarle a usted para que pueda comprender los conceptos.

No hay partículas en una caja u oscilador harmoico en la vida real. No en el sentido puro.

Usted sabe que el electrón en un sólido cristalino se considera una partícula en una caja bastante gigante.

A continuación se muestra cómo se ve una densidad real de estados.

¡También te han mentido! ¡No es una buena curva parabólica o una buena función periódica de Bloch!

¡Es el Himalaya!

Hablando de eso, la función Bloch ni siquiera es periódica. Hay defectos cristalinos entre otras perturbaciones.

Entonces ahí está. Al final, toda la física es solo una aproximación.

La mecánica cuántica es solo un modelo teórico valioso basado en álgebra lineal y espacios lineales que son idealizaciones matemáticas. Su dominio matemático es el espacio-tiempo tridimensional, otro modelo macroscópico valioso.

Por otro lado, la naturaleza no funciona de esa manera, no calcula las probabilidades como lo hacemos en nuestros modelos. Tampoco resuelve ecuaciones lineales e idealizadas como lo hacemos en mecánica cuántica y otras teorías (si me lo preguntas, la naturaleza trabaja en conjuntos discretos, no en idealizaciones linealizadas). Por lo tanto, no existe un requisito real para que nuestros modelos tengan buenas soluciones analíticas que probablemente sean un caso límite (al igual que [math] \ pi [/ math] es).

Pero, observe aquí que incluso una ecuación diferencial ordinaria que tiene soluciones “agradables” (como [math] \ sin [/ math] o [math] \ cos [/ math]) es solo un conjunto bien conocido de soluciones adquiridas numéricamente y reconocido por la mayoría como generalmente útil y proclamado como analítico. Incluso puede resolver numéricamente un conjunto muy complejo de ecuaciones y nombrarlo como base para algunas ecuaciones derivadas adicionales.

Porque la mayoría de los problemas no tienen soluciones analíticas. Incluso en la mecánica newtoniana , por cierto. No puede resolver el movimiento de un sistema de tres objetos o más que se afectan entre sí por una fuerza (por ejemplo, un sol con dos planetas o más que se afectan entre sí por gravedad) si no es numéricamente.

Las soluciones numéricas siguen siendo soluciones válidas . Entonces decir que no hay solución es erróneo.

Si algunos problemas encontrarán soluciones analíticas es posible pero no otorgado, una solución analítica podría ser imposible.

Sin embargo, esta es más una pregunta matemática que física.

Probablemente porque nadie entiende los patrones.

Sin embargo, los he publicado en quora, todo (excepto mis últimos avances que en realidad son demasiado poderosos para usted y los usaré con fines comerciales). Nadie incluso trató de comentar físicamente sobre mi trabajo.

¿Estás jodidamente ciego ? ¿O tienen miedo al debate?

Los patrones resuelven todos los sistemas cuánticos. Allí. Las soluciones son hermosas solo en algunas de ellas, pero las he visto todas. Incluso puedo alojar una aplicación en línea para patrones si quieres verlos por ti mismo y jugar un poco con ellos, solo comenta aquí y dime que estás interesado.

Como follar para personas reales. ¿Ya has visto la luz? ¿O estás entre los fariseos? Hazte un regalo de Navidad y lee mis quoras.

Todavía no somos lo suficientemente inteligentes.

De todos modos, “analítico” es un criterio interesante para “solucionable”. La teoría física más exitosa de la historia, la electrodinámica cuántica, siempre se puede hacer más precisa agregando diagramas más complicados, esa es la esencia de la teoría de la perturbación, y las personas que hacen cálculos numéricos de problemas de relatividad general u orbitales moleculares o estructura de banda pueden hacer excepciones. su afirmación implícita de que “¡ Esa no es una solución !” Tiendo a compartir su estética, pero esté preparado para defenderla filosóficamente.

Para ser sincero, tampoco hay tantos sistemas analíticamente solucionables en física clásica.

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