Resulta que también es muy difícil resolver los sistemas de mecánica clásica. Hay una razón por la que los péndulos simples se presentan en cursos de introducción antes del péndulo físico real: es imposible de resolver a menos que desee considerar las integrales elípticas como ‘soluciones analíticas’. El péndulo doble exhibe un comportamiento caótico, con el que es aún más difícil trabajar. Cualquier sistema gravitacional con más de dos cosas se vuelve imposible de resolver analíticamente. Si alguna vez has tomado una clase de mecánica clásica, habrás notado que el conjunto de problemas que puedes resolver se vuelve repetitivo rápidamente. Existen razones por las que existen técnicas de perturbación y aproximaciones en la mecánica clásica, tal como lo hacen en la física cuántica.
La respuesta directa a su pregunta proviene del estudio de las ecuaciones diferenciales parciales, y es una pregunta matemática mucho más interesante que cualquier cosa de la física. Las soluciones a los sistemas cuánticos son soluciones a la ecuación de Schrodinger, que es una ecuación diferencial parcial de segundo orden en 4 variables. La razón por la que existen tan pocos sistemas cuánticos que se puedan resolver exactamente es porque es realmente difícil resolver exactamente ecuaciones diferenciales parciales. Probablemente entiendas eso mejor que yo, dado que eres estudiante de matemáticas.
Estás preguntando sobre un pequeño aspecto de la mecánica cuántica en su conjunto: las soluciones que se expresan en función de la posición. También podría tratar de resolver su sistema fácilmente en coordenadas de momento, el equivalente a la transformación de Fourier. Aún así, a menudo el verdadero poder de QM a menudo no está en resolver sistemas particulares, sino en responder preguntas sobre variedades increíblemente vastas de sistemas basados simplemente en las simetrías que satisfacen. Por ejemplo, la invariancia rotacional de un sistema obliga a que ocurran muchas degeneraciones, algo que es directamente aplicable al estudio de los átomos alcalinos. Un ejemplo más genial: la invariancia de Lorentz (invariancia bajo transformaciones relativistas especiales) implica directamente la existencia de bosones y fermiones, y de las estadísticas asociadas, lo cual es absolutamente alucinante.
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Como probablemente haya notado en su clase stat-mech, a menudo es muy adecuado tener soluciones aproximadas para un sistema. Debido al curso de las aplicaciones cotidianas en comparación con la escala cuántica, no necesitamos conocer la función de onda exacta de un trozo de metal para poder hacer predicciones sobre su conductividad o comprender cosas interesantes como el efecto Hall cuántico. Afortunadamente, hay muchos métodos numéricos y aproximaciones que podemos usar para determinar adecuadamente las propiedades de muchos sistemas cuánticos. La teoría de la perturbación en particular le permite calcular las soluciones a sistemas arbitrariamente cercanos a un sistema exactamente solucionable que es muy similar (generalmente el potencial 1 / r).
De todos los sistemas matemáticos posibles que podrían describir nuestro universo, somos muy afortunados de tener tantos sistemas exactamente solucionables que tenemos en Mecánica Cuántica. Si alguna vez analizas la teoría de campo cuántico, te horrorizarás aún más por el desorden que encuentres allí And (Y aún así, es la teoría predictiva más poderosa que ha surgido hasta ahora).
