¿Qué conocimiento matemático y físico debe tener uno para comprender completamente las interpretaciones de la mecánica cuántica (QM)?

En última instancia, eso se reducirá al nivel en el que le gustaría entenderlo. No creo que haya realmente un nivel que pueda describirse como comprender completamente la mecánica cuántica; la educación en mecánica cuántica abarca la química de la división inferior, la física de la división superior y la física de nivel de posgrado (incluidos temas avanzados como la teoría cuántica de campos).

En el nivel más bajo, realmente no necesitas ninguna matemática avanzada. El libro de texto de química introductoria de Tro, por ejemplo, pasa un capítulo discutiendo la dualidad onda-partícula y los números cuánticos de una manera muy rudimentaria que es suficiente para aprender química introductoria. En un primer curso de mecánica cuántica, gran parte del curso se centrará en resolver la ecuación de Schrödinger. La ecuación general de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial, pero los problemas introductorios tienden a involucrar principalmente la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que es una ecuación diferencial ordinaria. Para resolver estos problemas básicos, necesitará estar al menos un poco familiarizado con las ecuaciones diferenciales ordinarias y, obviamente, el cálculo .

Por supuesto, resolver ecuaciones de Schrödinger difícilmente puede llamarse comprensión de la mecánica cuántica. Para comenzar realmente a comprender la mecánica cuántica, necesitará una buena comprensión del álgebra lineal (en la división superior, es decir, Álgebra lineal hecha a la derecha (Axler) , nivel), que es la base matemática de la mecánica cuántica. ¿Qué es un objeto en mecánica cuántica? Un objeto es una ecuación de onda que es un vector en un espacio vectorial y sus propiedades medibles corresponden a operadores en el espacio vectorial. El famoso principio de incertidumbre, un aspecto fundamental de la mecánica cuántica, se deriva de la no conmutatividad de los operadores de posición y momento. Si comprende el álgebra lineal (espacios vectoriales, tipos de operadores, bases, vectores propios, teoremas de isomorfismo), diría que está en camino a lo que creo que podría considerarse comprender la mecánica cuántica, que es, más o menos, solo álgebra lineal con significado físico adjunto. Para llevar las cosas un paso más allá, será útil (ciertamente me ayudó) tener una buena comprensión del análisis funcional (que es un término elegante para el álgebra lineal en dimensiones infinitas) y la transformación de Fourier (que es su puerta de enlace entre el espacio de posición y espacio de impulso y estrechamente relacionado con el análisis funcional). Para la aplicación de física, recomiendo el Análisis funcional introductorio (Kreyszig) .

Aunque el álgebra lineal es la base de la mecánica cuántica, hay muchos más campos de las matemáticas que serán beneficiosos para comprender la mecánica cuántica en un nivel superior; Es probable que, dado cualquier campo avanzado de matemática, pueda encontrar alguna rama de la física que involucre la mecánica cuántica en la que se está aplicando esa materia. Por ejemplo, aunque apenas avanzado por los estándares matemáticos modernos, el álgebra abstracta (teoría de grupos en particular) tiene aplicaciones significativas en la mecánica cuántica donde se estudia la simetría. [1] La topología y la geometría diferencial también tienen algunas aplicaciones encantadoras para las fases de la mecánica cuántica. [2] Incluso la teoría de categorías ha encontrado un lugar para describir la mecánica cuántica. [3] [4] La mecánica cuántica es un vasto campo que abarca muchas áreas no solo de física básica sino también de investigación moderna.

Notas al pie

[1] Simetría en mecánica cuántica – Wikipedia

[2] Conexión y curvatura de la baya – Wikipedia

[3] Mecánica cuántica categórica – Wikipedia

[4] [0808.1023] Mecánica cuántica categórica

Para aprender Mecánica Cuántica, primero debes sentirte cómodo con el álgebra lineal. Los estados de los sistemas físicos se describen como vectores, y los observables (como la posición o el momento) se convierten en operadores (matrices) que actúan sobre esos vectores. Por lo tanto, debe comprender las propiedades de los espacios vectoriales, las características de las matrices y cómo resolver problemas de valores propios. También debe saber cómo clasificar las matrices: las matrices hermitianas y unitarias juegan un papel central en la mecánica cuántica.

Luego, debe aprender sobre ecuaciones diferenciales parciales (por ejemplo, la ecuación de Schrödinger). Debe estar familiarizado con las técnicas para resolverlos, por ejemplo, análisis de Fourier y soluciones en serie. Una vez que lo aprenda, estudie la teoría de Sturm-Liouville y sus aplicaciones: aquí es donde el álgebra lineal se vuelve muy útil. La teoría de Sturm-Louiville básicamente dice que las soluciones a cualquier ecuación de tipo Sturm-Louiville (como la ecuación de Schrödinger) forman un conjunto de bases completo y, por lo tanto, pueden usarse para describir cualquier sistema físico con los mismos grados de libertad.

En algún momento, debe familiarizarse con las estadísticas y la probabilidad. Después de todo, la mecánica cuántica solo nos dice la probabilidad de encontrar un sistema en estados particulares. Lo más importante, debe aprender sobre distribuciones, promedios y desviación estándar.

Finalmente, desde el lado de la física, debes aprender la mecánica hamiltoniana, que es una formulación de la mecánica clásica. La mecánica cuántica utiliza la mecánica hamiltoniana como punto de partida, y desde ese punto cada característica de la mecánica hamiltoniana se transforma en una versión cuántica. El soporte de Poisson se convierte en un conmutador, las cantidades observables se convierten en operadores observables (nuevamente, el álgebra lineal es crucial), las ecuaciones de Hamilton se convierten en el teorema de Ehrenfest, etc.

Una vez que hayas dominado todas esas cosas, la mecánica cuántica será fácil.

Las interpretaciones? No mucho en mi opinion. El peligro es tomar esas interpretaciones como realidad y correr demasiado lejos con ellas.

Aquí está lo más importante para recordar sobre la ciencia en general, y la física en particular: en física, especialmente, creamos modelos matemáticos para tratar de predecir lo que observamos. En la medida en que podamos predecir observaciones experimentales, el modelo es válido. Un modelo válido no significa que el modelo sea realidad. Simplemente significa que tiene poder predictivo. La mecánica y la gravedad newtonianas hicieron un trabajo brillante al predecir cosas como la mecánica celeste y la balística terrestre, hasta que nuestra capacidad de medición se volvió lo suficientemente precisa como para que notáramos discrepancias entre las mediciones y las predicciones. A lo largo viene la relatividad general para salvar el día. ¿Y quién sabe qué surgirá para suplantar la relatividad general?

La teoría de la onda piloto aparentemente proporciona un modelo determinista para la mecánica cuántica, que es capaz de predecir con precisión las observaciones. ¿Eso significa que Copenhague es falso? No. Simplemente significa que hay más de una forma de desollar al gato de Schroedinger.

No “sabemos” que los angelitos no encienden nuestros detectores en el momento adecuado con la energía adecuada para que coincida con nuestros modelos. Y sí, esa es una imagen bastante tonta de la realidad, desde la perspectiva de un físico, pero lo importante es que no lo sabemos. Tenemos matematicas. Tenemos modelos. Tenemos observaciones Tenemos predicciones Si intentas ir mucho más allá de todo eso, estás en el campo de la especulación ociosa.

Para entender la física? Ese es otro asunto. Creo que el plan de estudios estándar de física de la universidad sería un buen comienzo. Eso incluirá matemáticas a través del álgebra lineal, ecuaciones diferenciales multivariables y teoría de grupos. La física incluirá mecánica hamiltoniana, mecánica de ondas, termodinámica, electrodinámica y, por supuesto, mecánica cuántica.

Para el estudiante promedio, eso no significa que lo entiendas. Simplemente significa que puede resolver todas las ecuaciones lo suficientemente bien como para obtener una calificación aprobatoria. 🙂 Hacer cálculos no es lo mismo que comprender.

Si está comenzando la física cuántica, la mayoría de los libros comenzarán con el modelo de onda. En ese caso, debe tener una buena comprensión del cálculo multivariable y las ecuaciones diferenciales. Elija Modern Physics de Arthur Beiser y este libro también proporcionará los antecedentes no matemáticos para comenzar la mecánica cuántica.

También hay grandes programas de televisión como Breaking Bad y Game of Thrones. Es posible que desee pasar su “tiempo libre” viendo esos en lugar de estudiar QM. 🙂

A2A. La lista de Viktor T. Toth no es irrazonable si quieres hacerlo correctamente. Hay muchos lugares en los que puede escatimar, y las matemáticas para algunos de los escenarios interesantes como la desigualdad de Bell no son tan difíciles de forma aislada, pero si no tiene un conocimiento bastante amplio de física pre-cuántica y algunas de las aplicaciones introductorias de la teoría cuántica, no significará nada.

Ofrezco en mi sitio una forma breve de expresar una formulación matemáticamente precisa de estados cuánticos, mediciones y entrelazamientos, con una explicación de cómo proporciona las predicciones del experimento de doble rendija. El método consiste en introducir primero el concepto de procesos de Markov, luego formularlo en el lenguaje de geometría afín con transformaciones proyectivas para representar la medición, luego modificar algunos aspectos de esta descripción geométrica para obtener la versión cuántica de cómo funcionan las cosas. De esta forma, es natural entender la decoherencia cuántica como la forma en que esta descripción mecánica cuántica puede volver naturalmente a un tipo clásico de evolución en algunas circunstancias. Fundamentos de la física teórica.

Para poder seguir la discusión física y filosófica se requiere una comprensión sólida de la mecánica cuántica.

En álgebra matemática compleja, se necesita manipulación de la matriz y teoría de la probabilidad. En física, se requiere la comprensión de la mecánica clásica, en particular el formalismo hamiltoniano y de Lagrange.

La respuesta depende de dónde empiezas. Para aprender la mecánica cuántica, necesitará una comprensión muy sólida del cálculo, además de una comprensión del álgebra lineal y las ecuaciones diferenciales. Esa es la preparación mínima en el lado de las matemáticas. Desde la física, debe conocer la mecánica básica, además de la electricidad y el magnetismo, tanto en forma estática (campos) como dinámica (ondas). Todo esto equivale a aproximadamente dos años de cursos de pregrado en física y matemáticas. Una vez que hayas dominado estas materias, puedes tomar un libro de texto de pregrado sobre mecánica cuántica y comenzar a aprender la materia.

1. Álgebra lineal (cualquier buen libro de QM tendrá los elementos básicos necesarios)

2. Mecánica clásica (si ha tomado ese curso que está bien, de lo contrario, lea hasta el soporte de Poissons)

Esto debería hacerlo. Y básicamente creo que los requisitos previos no son muchos. Puede comenzar un curso básico de QM sin él y, a medida que avanza, puede tomar prestados algunos de los conceptos (que no son muchos).

Libros preferidos
INTRODUCCIÓN DE LA MECÁNICA CUÁNTICA POR DAVID J. GRIFFITHS

MECÁNICA CUÁNTICA MODERNA POR JJ SAKURAI

ENFOQUE MODERNO DE LA MECÁNICA CUÁNTICA POR JOHN F TOWNSEND

Voy a tomar la visión contraria como de costumbre aquí. “¿Comprenden completamente las interpretaciones?” Esta es la ciencia de la que se dijo: “Cállate y calcula” cuando los maestros se irritan con los estudiantes que piden interpretaciones de la interpretación de la ONU.

Oh, pero no planeo parar allí. Voy a desacreditar cada interpretación. Si paso por alto tu favorito, deja un comentario y lo desacreditaré también.

• Interpretación de Copehnagen: en esta, la función de onda de Schrodinger es una probabilidad de encontrar una partícula. Pero una partícula no puede atravesar dos ranuras a la vez, obviamente, y ninguna matemática le permitirá “comprender” eso.
• De Broglie-Bohm (partículas guiadas por ondas): en este caso, ¿por qué debería importar si bloquea la ranura por la que no pasa la partícula?
• Teoría del campo cuántico (no hay partículas, solo ondas): aún tiene el caso de que, cuando es hora de ser absorbido, la onda colapsa inexplicablemente hasta un punto.

¿Tienes otro?

No conozco todo el plan de estudios requerido para una comprensión completa, pero apenas tengo conocimiento, y me han enseñado formalmente lo siguiente:

• Honra la mecánica newtoniana
• Honra la electricidad y el magnetismo.
• Probabilidades y estadísticas
• Matemática discreta (lógica avanzada)
• Dos años de cálculo universitario

Además, he seguido la física durante más de 20 años leyendo sobre física popular, incluidos Neil DeGrasse Tyson, Michio Kaku, Stephen Hawking y Brian Greene. Soy un aficionado de rango. Pero yo “lo entiendo”. No puedo hacer los cálculos, pero puedo obtener la idea más básica. No confiaría en mí mismo para formular una nueva teoría, pero me siento cómodo con mi nivel de comprensión.

Para comprender verdaderamente la física en un nivel tan fundamental probablemente se requerirían 8 años de entrenamiento formal, seguidos de 10 años de exploración y resolución de problemas experimentales. Tal vez otros 15-20 años ejecutando un experimento que pueda probar que su teoría es errónea. Pero sigue siendo una gran mejora en los días de Einstein cuando ni siquiera podía ver todas sus teorías verificadas experimentalmente.

Depende, pero debe tener las matemáticas básicas de pregrado (Calc I-III, Diff Eq y Álgebra lineal), así como todos los cursos de prerrequisitos de física (creo que generalmente son tres cursos: mecánica clásica, electromagnetismo y vibraciones / olas, pero varía).

Sin embargo, definitivamente no dolerá si sabes más, especialmente en la sección de matemáticas donde muchos estudiantes universitarios de física se desaniman (requiere un poco de destreza matemática). También puede tomar otro curso de física de pregrado, como la teoría de cuerdas de pregrado o la relatividad especial de pregrado, esto podría ayudarlo un poco.

¿Cómo puedo aprender Mecánica Cuántica por mi cuenta, pero cuyo resultado se comparará con el de alguien que haya estudiado y estudiado? por supuesto en eso? puede ayudarte también.

También debe tener en cuenta que probablemente necesitará un poco más de experiencia si está tomando QM II o III o alguna otra versión más avanzada que el curso de pregrado de introducción.

Debe conocer al menos Álgebra lineal y Ecuación diferencial.

Estoy estudiando a través de este libro. Es bueno para principiantes.
http://www.sccs.swarthmore.edu/u …

O puedes probar estas hermosas series de conferencias Core – Quantum Physics

El profesor comienza desde cero. Mire cada video repetidamente hasta que se sienta cómodo con él. ¡El libro que sugerí te ayudará a pulir el núcleo que has aprendido del video!

Todo lo mejor !