No sé acerca de lo común, pero hay algunos al menos.
Un pequeño estudio de internet los revela:
http://mathoverflow.net/question…
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Los paquetes de esferas en varios espacios son de interés en física a través de sus conexiones con las teorías de calibre, por lo que los grupos de esferas de homotopía ciertamente tienen algunas aplicaciones en física.
Existe el conocido caso de un monopolo magnético a la Dirac que conduce a una condición de cuantificación de carga en la mecánica cuántica de partículas cargadas.
Si una partícula cargada se coloca en el campo de un monopolo magnético, dicho campo es a su vez describible por un potencial vectorial en un colector que es solo [matemático] R ^ 3 [/ matemático] menos el origen, con el monopolo en sí mismo en el origen, luego un cambio en el potencial vectorial del monopolo da como resultado la multiplicación de la función de onda de la partícula cargada por una fase compleja que es un elemento de U (1). El potencial del vector monopolar se puede dar haciendo coincidir el campo en la mitad superior del espacio con el de la mitad inferior del espacio y los dos campos están relacionados por una transformación de calibre.
El campo monopolo solo es singular en la ubicación del monopolo. Dirac luego argumentó que la fase de la función de onda de la partícula cargada debe permanecer invariable cuando se mueve completamente alrededor de un bucle en el plano ecuatorial para evitar producir una función de onda multivalor y esto condujo a una condición de cuantificación en el producto de la carga monopolar y el carga eléctrica.
Pero esto tiene una interpretación en términos de grupos de homotopía de esfera.
Entonces, dado que [matemática] R ^ 3 [/ matemática] menos el origen es homotopía equivalente a [matemática] S ^ 2 [/ matemática], la estructura relevante es un conjunto de círculo principal sobre [matemática] S ^ 2 [/ matemática]. Pero tales paquetes principales se pueden clasificar por [math] \ pi_1 (S ^ 1) = Z [/ math].
Este es el contenido esencial de la condición de cuantización de carga de Dirac: si uno de esos monopolos magnéticos existe en el universo, entonces toda la carga eléctrica debe cuantificarse en unidades de carga inversa del monopolo, o viceversa.
Y los monopolos surgen en otras teorías de calibre, al igual que las instancias. Por lo tanto, los paquetes de esferas sobre [matemáticas] R ^ 3 \, [/ matemáticas] aparecen con bastante frecuencia en física.
Esa es una fuente de posibles aplicaciones para grupos de esferas de homotopía estables en física. No sé si las aplicaciones para grupos [math] \ pi_n (S ^ k) [/ math] tienen muy grandes ny k. Pero ciertamente no es imposible que existan: la gente ha pasado bastante tiempo mirando grandes “límites” de N de las teorías de calibre.
Pero también aparecen algunos grupos de esferas homotopías inestables. Witten escribió un famoso artículo en el que dedujo las condiciones para que una teoría de indicadores SU (2) sobre el espacio de Minkowski de cuatro dimensiones no tuviera anomalías, basándose en el hecho de que [matemáticas] SU (2) \ equiv S ^ 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pi_4 (S ^ 3) = Z_2 [/ matemáticas].
