Mecanica clasica
En una escala macroscópica, el mundo se describe básicamente por 3 leyes, conocidas como las leyes del movimiento de Newton. Se pueden resumir de la siguiente manera:
- Cuando se ve desde un marco de referencia inercial, un objeto permanecerá en reposo o en movimiento con una velocidad constante a menos que una fuerza externa actúe sobre él.
- La fuerza sobre un objeto viene dada por la tasa de cambio de una cantidad conocida como momentum: [math] \ vec {F} = \ frac {d \ vec {p}} {dt} [/ math]. Esta es la forma más general de la familiar [matemáticas] \ vec {F} = m \ vec {a} [/ matemáticas].
- Cuando se ejerce una fuerza sobre el objeto 1 por el objeto 2, hay una fuerza igual y opuesta que actúa sobre el objeto 2 por el objeto 1. Otra forma de decir esto es que para cada acción, hay una reacción igual y opuesta.
Esto forma la base de la mecánica clásica. Sin embargo, hay otras formas de formularlo, a saber, la mecánica lagrangiana y hamiltoniana.
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La mecánica lagrangiana se ocupa de la minimización de la acción, que es el tiempo integral de la cantidad conocida como lagrangiana. El lagrangiano será una función de las posiciones (estas pueden ser más generales que las coordenadas cartesianas) y las velocidades (derivadas del tiempo de las posiciones). Además, para los sistemas clásicos, el lagrangiano será la diferencia entre la energía cinética y potencial:
[matemáticas] S [\ vec {q} (t)] = \ displaystyle \ int L (\ vec {q} (t), \ dot {\ vec {q}} (t), t) dt = \ displaystyle \ int (T (\ dot {\ vec {q}}) – V (\ vec {q})) dt [/ math]
Cuando minimizamos esta función, obtenemos las llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial L} {\ partial q ^ i} – \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q} ^ i} = 0 [/ matemáticas]
Esto nos da una mejor manera de hablar sobre cantidades conservadas. Generalmente definimos el impulso como [matemática] p_i \ equiv \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q} ^ i} [/ math]. Podemos ver por qué esta es una buena definición a partir de un ejemplo. Si tenemos un Lagrangiano donde [matemáticas] T = \ frac {1} {2} m (\ dot {x} ^ 2 + \ dot {y} ^ 2) [/ matemáticas], y [matemáticas] U = \ frac {1} {2} kx ^ 2 [/ math], entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange nos dan:
[matemáticas] kx- \ frac {d} {dt} (m \ dot {x}) = kx-m \ vec {a} _x = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d} {dt} (m \ dot {y}) = 0 [/ matemáticas]
Claramente a partir de este ejemplo, podemos ver que el impulso de una determinada posición se conserva cuando el lagrangiano no depende de una determinada coordenada, es decir, [matemática] \ frac {\ parcial L} {\ parcial q ^ i} = 0 [/ matemáticas].
Ahora, consideremos la mecánica hamiltoniana. En la mecánica hamiltoniana, un sistema se describe mediante un conjunto de coordenadas [matemáticas] (\ vec {q}, \ vec {p}) [/ matemáticas]. Aquí, los componentes de [math] \ vec {q} [/ math] y [math] \ vec {p} [/ math] describe las posiciones geométricas y sus momentos conjugados (como se definió anteriormente). Podemos definir el hamiltoniano como la “transformación Legendre” del lagrangiano, es decir
[matemáticas] H (\ vec {q}, \ vec {p}, t) = \ sum \ limits_i \ dot {q} ^ ip_i-L (\ vec {q} (t), \ dot {\ vec {q }} (t), t) [/ matemáticas]
Entonces, podemos ver fácilmente que:
[matemáticas] dH = \ sum \ limits_i \ left [\ frac {\ partial H} {\ partial q ^ i} dq ^ i + \ frac {\ partial H} {\ partial p_i} dp_i \ right] + \ frac {\ parcial H} {\ parcial t} dt [/ matemáticas]
Tomando el diferencial de la ecuación de transformación de Legendre anterior, podemos mostrar fácilmente que [math] \ frac {dp_i} {dt} = – \ frac {\ partial H} {\ partial q ^ i} [/ math], [math] \ frac {dq ^ i} {dt} = \ frac {\ partial H} {\ partial p_i} [/ math] y [math] \ frac {\ partial H} {\ partial t} = – \ frac {\ parcial L} {\ parcial t} [/ math]. Estas se llaman ecuaciones de movimiento de Hamilton.
Podemos generalizar esto a cualquier función de las posiciones y momentos. Si definimos lo que se llama “paréntesis de Poisson” como [matemáticas] (f (q, p), g (q, p)) _ {PB} = \ sum \ limits_i \ left [\ frac {\ partial f} {\ parcial q ^ i} \ frac {\ partial g} {\ partial p_i} – \ frac {\ partial g} {\ partial q ^ i} \ frac {\ partial f} {\ partial p_i} \ right] [/ math ], entonces podemos mostrar que cualquier función de las posiciones y momentos satisface [matemáticas] \ frac {df} {dt} = (f, H) _ {PB} + \ frac {\ partial f} {\ partial t} [ / math] (Sugerencia: solo use la regla de la cadena). Además, tenga en cuenta que [math] (q ^ i, p_j) _ {PB} = \ delta ^ i_j [/ math]. Este es el delta de Kronecker, y es igual a 1 cuando i = j y es 0 de lo contrario.
Como podemos ver, hasta ahora en esta discusión de la mecánica clásica, hemos estado hablando mucho sobre posiciones y momentos. Básicamente, estos son lo que se llaman “coordenadas de espacio de fase”. Probablemente ya haya adivinado que en la mecánica clásica, describimos nuestro sistema por sus coordenadas en el espacio de fase, de las cuales hay 6. Podemos generalizar fácilmente esta noción a las partículas N, en cuyo caso, hay coordenadas de espacio de fase 6N. Un estado microscópico está representado por un punto en el espacio de fase y el movimiento del sistema general está representado por una curva en el espacio de fase. Las coordenadas en el espacio de fase (posiciones + momentos para la mecánica hamiltoniana) evolucionan de acuerdo con sus ecuaciones de movimiento como se indicó anteriormente. Un estado macroscópico corresponderá a muchos puntos microscópicos diferentes en el espacio de fase.
En mecánica cuántica, existe una noción fundamental de un estado físico. Estos estados pertenecen a un espacio “vector” llamado espacio de Hilbert, lo que significa que se pueden sumar para dar un nuevo estado, que también se encuentra en el espacio de Hilbert. Esto se llama el principio de superposición. Estos estados están representados por la notación de brackets de Dirac: [math] | \ Psi \ rangle \ in \ mathcal {H} [/ math].
Otra parte distintiva de la mecánica cuántica es que las coordenadas que describimos anteriormente, junto con la hamiltoniana, etc. (básicamente las variables dinámicas) se promueven a operadores que actúan linealmente en el espacio de Hilbert. Esto significa que si actuamos como operador [math] \ hat {A} [/ math] en un estado [math] | \ Psi \ rangle [/ math], obtenemos otro estado que también está en el espacio de Hilbert.
Los operadores que actúan en el espacio de Hilbert no necesariamente viajan diariamente. Sin embargo, en el límite clásico (es decir, [matemática] \ hbar \ rightarrow 0 [/ matemática]), los operadores se convierten efectivamente en números y, por lo tanto, deben conmutar. Hay un procedimiento para tomar sistemas clásicos y hacerlos cuánticos, llamado cuantización canónica: [matemáticas] (q ^ i, p_j) _ {PB} \ rightarrow \ frac {1} {i \ hbar} [\ hat {q} ^ i , \ hat {p} _j] [/ math]. Básicamente, lo que estamos haciendo es decir que estos operadores están obligados a satisfacer las relaciones de conmutación canónica: [matemáticas] [\ hat {q} ^ i, \ hat {p} _j] \ equiv \ hat {q} ^ i \ hat { p} _j- \ hat {p} _j \ hat {q} ^ i = i \ hbar \ delta ^ i_j [/ math]. Particularmente, si dos operadores no conmutan (es decir, su conmutador no es cero), esto lleva al Principio de incertidumbre de Heisenberg, que nuevamente desaparece en el límite clásico.
Por lo tanto, como podemos ver, esta prescripción es suficiente para hacer que los sistemas clásicos sean mecánicos cuánticos. Hemos reemplazado las coordenadas (y otras variables dinámicas como la hamiltoniana) con operadores que actúan en el espacio de estados. Estos operadores, debido a que no conmutan, no pueden diagonalizarse simultáneamente y, por lo tanto, dan lugar a las principales diferencias entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica.
