¿Cuál es la razón detrás del Principio de incertidumbre de Heisenberg?

Heisenberg imaginó un microscopio que obtiene una resolución muy alta mediante el uso de rayos gamma de alta energía para la iluminación. No existe tal microscopio en la actualidad, pero podría construirse en principio. Heisenberg imaginó usar este microscopio para ver un electrón y medir su posición. Descubrió que la posición y el impulso del electrón obedecían de hecho la relación de incertidumbre que había derivado matemáticamente. Bohr señaló algunas fallas en el experimento, pero una vez que se corrigieron, la demostración fue completamente convincente.

En la versión corregida del experimento mental, un electrón libre se encuentra directamente debajo del centro de la lente del microscopio. La lente circular forma un cono de ángulo 2A desde el electrón. Luego, el electrón se ilumina desde la izquierda mediante rayos gamma: luz de alta energía que tiene la longitud de onda más corta. Estos producen la resolución más alta, ya que de acuerdo con un principio de óptica de onda, el microscopio puede resolver (es decir, “ver” o distinguir) objetos a un tamaño de Dx, que está relacionado con y con la longitud de onda L del rayo gamma, por la expresión:

Dx = L / (2sinA)

Sin embargo, en la mecánica cuántica, donde una onda de luz puede actuar como una partícula, un rayo gamma que golpea un electrón le da una patada. En el momento en que el electrón difracta la luz hacia la lente del microscopio, el electrón se empuja hacia la derecha. Para ser observado por el microscopio, el rayo gamma debe dispersarse en cualquier ángulo dentro del cono del ángulo 2A. En mecánica cuántica, el rayo gamma lleva impulso, como si fuera una partícula. El momento total p está relacionado con la longitud de onda por la fórmula

p = h / L, donde h es la constante de Planck.

En el caso extremo de difracción del rayo gamma al borde derecho de la lente, el momento total en la dirección x sería la suma del momento del electrón p’x en la dirección x y el momento del rayo gamma en la dirección x:

p’x + (h sinA) / L ‘, donde L’ es la longitud de onda del rayo gamma desviado.

En el otro extremo, el rayo gamma observado retrocede, golpeando el borde izquierdo de la lente. En este caso, el impulso total en la dirección x es:

p”x – (h sinA) / L ”.

El momento x final en cada caso debe ser igual al momento x inicial, ya que el impulso nunca se pierde (se conserva). Por lo tanto, los momentos finales x son iguales entre sí:

p’x + (h sinA) / L ‘= p”x – (h sinA) / L’ ‘

Si A es pequeño, entonces las longitudes de onda son aproximadamente las mismas, L ‘~ L “~ L. Entonces tenemos

p”x – p’x = Dpx ~ 2h sinA / L

Dado que Dx = L / (2 sinA), obtenemos una relación recíproca entre la incertidumbre mínima en la posición medida, Dx, del electrón a lo largo del eje x y la incertidumbre en su momento, Dpx, en la dirección x:

Dpx ~ h / Dx o Dpx Dx ~ h.

Para una incertidumbre más que mínima, se puede agregar el signo “mayor que”.

Excepto por el factor de 4p y un signo igual, esta es la relación de incertidumbre de Heisenberg para la medición simultánea de la posición y el momento de un objeto.

Hay, de hecho, múltiples ‘pruebas’ de ello (propiamente hablando, quiere decir derivaciones). Quora User describió el más matemático, pero el propio Heisenberg parece haberlo derivado del uso de la noción de la resolución angular de un microscopio.

Quiero enfatizar que Heisenberg no proporcionó la declaración del principio de incertidumbre que ha utilizado. El suyo era mucho más crudo, y se necesitaron otros físicos para refinarlo en la forma que ves hoy, utilizando el enfoque que Andrew discutió. En particular, faltaba el factor crucial de [matemáticas] 4 \ pi [/ matemáticas]. Voy a discutir cómo Heisenberg derivó su principio.

Heisenberg comenzó imaginando un experimento para tratar de deducir el impulso de un electrón. Toma un microscopio, dice, y brilla la luz a través de él para que golpee un electrón. Ahora, si su luz tiene una longitud de onda [matemática] \ lambda [/ matemática], entonces su impulso [matemática] p [/ matemática] es solo [matemática] \ dfrac {h} {\ lambda} [/ matemática] (esto se deduce de [matemáticas] E = h \ nu [/ matemáticas] y [matemáticas] p = \ dfrac {E} {c} [/ matemáticas]).

Ahora, invocamos nuestra comprensión física: no sabemos cuánto del impulso se transfiere. Sabemos que parte de ella se transfiere, pero la dispersión de Compton (que es lo que llamamos el acto de dispersar un fotón de un electrón) no es un proceso perfecto. Si supiéramos la cantidad de energía transferida exactamente, podríamos restarla de nuestra medición del momento del electrón para obtener el original. Pero no lo hacemos; por lo tanto, la incertidumbre en el momento del electrón es como máximo igual a la cantidad máxima de momento transferido (es decir, todo). La magnitud del cambio proporciona barras de error a nuestra estimación del impulso, si ve lo que estoy tratando de decir.

Bueno. Entonces, si el cambio en nuestro impulso puede, como máximo, ser igual al impulso del fotón, y nuestro cambio en el impulso es igual a la incertidumbre en nuestra medición, entonces escribimos [matemáticas] \ Delta p \ leq \ dfrac { h} {\ lambda} [/ math].

Bien. Por lo tanto, nuestra medición del momento siempre será imperfecta: siempre habrá cierta incertidumbre asociada con ella, pero creemos, por ahora, que podemos minimizarla tomando en cuenta la gran longitud de onda [math] \ lambda [/ math ] Poco sospechamos …

Pero midamos la posición del electrón en su lugar. Sin embargo, lo que suele suceder es que la luz difracta alrededor de objetos pequeños cuyo tamaño es comparable a su longitud de onda. Esta difracción es fundamentalmente proporcional a la longitud de onda de la luz utilizada. Entonces tenemos un dilema: tomar una longitud de onda demasiado grande y la difracción será mucho mayor, lo que conducirá a un error en nuestros microscopios. La incertidumbre, el error al medir la posición del electrón, será mayor que la longitud de onda: [matemática] \ Delta x \ geq \ lambda [/ matemática].

¿Por qué? Porque, en el caso de que la longitud de onda sea pequeña, en el mejor de los casos solo podemos resolver la posición del electrón hasta el límite de difracción, ya que esto es proporcional a la longitud de onda, se deduce que la posición del electrón será, al menos, proporcional a la longitud de onda. Para medir mejor la posición, debemos minimizar la longitud de onda.

¿Qué obtenemos cuando multiplicas estas dos cantidades? Obtenemos [math] \ Delta x \ cdot \ Delta p \ geq h [/ math], una forma más cruda del principio de incertidumbre, pero sigue siendo el mismo.

Esta es la derivación ‘informal’ del principio de incertidumbre.

La respuesta a tu pregunta es hermosa. 🙂
Aquí, explico la base lógica detrás del principio de incertidumbre de Heisenberg:
Es un principio muy famoso que se deriva de la hipótesis de De Broglie.
De Broglie sugirió una idea brillante pero ‘difícil de digerir’ en 1924. Propuso que todos los cuerpos móviles tienen una naturaleza ondulatoria … es decir, tiene propiedades tanto de partículas como de ondas. Tiene una naturaleza dual.
Además, sugirió que es completamente general y se aplica a todos.
Sin embargo, para cuerpos masivos, digamos un autobús / automóvil en movimiento o cualquier cosa de la vida cotidiana que vemos a simple vista, se puede demostrar fácilmente que la naturaleza de las olas es súper insignificante, por lo tanto, no las interpretamos como una ola. Pero para las partículas a nivel subatómico, como los electrones, la naturaleza de onda no puede subestimarse en absoluto. Dado que una partícula subatómica tiene naturaleza de onda, debe tener una longitud de onda. Se llamaba longitud de onda De Broglie, dada por la fórmula:
longitud de onda = (h / momento)
donde, h = Constante de Planck.
Nota: De esta fórmula se desprende que el momento puede calcularse si se conoce la longitud de onda.
momento = (h / longitud de onda).
Recuerde esto, lo necesitaremos unos segundos más tarde.
Por supuesto, esta fue una idea muy poco convencional.
Sin embargo, su teoría podría explicar datos misteriosos como:
¿Por qué el electrón gira alrededor del núcleo solo en órbitas en las que su momento angular es múltiplo integral de h / 2π, es decir, explica por qué funcionó la cuantización de Bohr del momento angular?
Pero tuvo consecuencias. El principio de incertidumbre de Heisenberg es uno de ellos.
Así es como:
Es difícil digerir que una partícula se comporta como una onda debido a razones obvias. Quiero decir que la partícula se localiza en el espacio mientras que la onda se extiende sobre una región del espacio.
Ahora pasamos a comprender la base lógica del principio de incertidumbre. Si el objeto en movimiento es una partícula, tiene una posición en cierto instante de tiempo. Por lo tanto, no tiene una longitud de onda (porque una partícula no tiene una longitud de onda, .. está localizada en el espacio). ¿Recuerdas la fórmula de De Broglie que mencioné anteriormente? ..
momentum = (h / wavelength) .. El momentum no se puede medir si no se conoce la longitud de onda. Entonces, en este caso, se puede conocer la posición pero no el impulso.
Ahora vamos a analizar la naturaleza de las olas. Si el objeto en movimiento se comporta como una onda, tiene una longitud de onda y, por lo tanto, puede medir su momento a partir de la fórmula anterior, pero no tiene posición (porque una onda no tiene posición, se extiende por el espacio). se puede medir pero no la posición.
Ahora déjame decirte que un sistema cuántico tiene una característica extraña que cuando lo mides, lo perturbas y tu medición afecta al sistema. Pero antes de la medición existe como una superposición de sus diversos estados.
Entonces, antes de medir, el objeto en movimiento tiene una naturaleza dual. Pero cuando intenta medir su posición precisa, lo obliga a mostrar su naturaleza de partículas (solo una partícula / cuerpo tiene una posición precisa) y eso hace que sea imposible medir su longitud de onda y, por lo tanto, no se puede medir su impulso. Cuando intentas medir su momento, lo obligas a mostrar su naturaleza de onda (porque el momento está asociado con la longitud de onda de De Broglie) y, por lo tanto, su posición no se puede medir.
Esto es lo que nos dice el principio de incertidumbre de Heisenberg, es decir, uno no puede medir la posición y el momento de una partícula simultáneamente y con precisión ilimitada. Para medir con precisión una de las cantidades anteriores, uno debe comprometerse con la precisión de la otra cantidad.
Editar: He intentado responder a su pregunta en palabras simples, sin utilizar una prueba matemática que se enseña en un curso de mecánica cuántica, utilizando la no conmutatividad de los operadores de posición y momento, para que un hombre normal pueda comprender la lógica detrás de esto. Espero que ayude. 🙂

En lugar de centrarme en las matemáticas, publicaré una analogía que, aunque no es estrictamente correcta, puede ayudar a visualizarla.

Imagina que tienes un electrón dentro de una caja. El electrón se mueve horizontalmente como una onda de izquierda a derecha, rebota en la pared derecha y regresa a la izquierda, rebota en la pared izquierda y regresa a la derecha y así sucesivamente.

La onda debe caber dentro de las paredes izquierda y derecha con un número entero de longitudes de onda. La amplitud de la onda (su altura) representa el impulso del electrón (su tendencia a alejarse de su posición actual).

Ahora, no sabemos dónde está exactamente el electrón, solo sabemos que está en algún lugar de la línea horizontal entre las paredes izquierda y derecha.

Para saber con mayor precisión dónde está el electrón, podemos reducir el espacio entre las dos paredes, acercarlas. Pero al hacerlo, exprimimos la onda para que su amplitud (su altura) crezca. Cuanto más acercamos las dos paredes entre sí, más precisamente sabemos dónde está el electrón, pero al mismo tiempo apretamos la onda más y más aumentando su impulso. En el momento en que las dos paredes están muy cerca una de la otra, por lo que la posición del electrón es bastante conocida, su impulso ha aumentado tanto que lo más probable es que cuando realmente queremos mirar el electrón haya saltado a otro lugar, incluso fuera de la caja a través de túneles cuánticos.

Aquí hay un sitio que explica mejor que yo en una respuesta corta sobre casi todo sobre la incertidumbre mecánica cuántica, incluyendo cómo Heisenberg desarrolló e interpretó su Principio y cómo otros lo han interpretado: El Principio de Incertidumbre

A menudo se explica que el Principio surge naturalmente de las características fundamentales de las ondas, pero esa ya no es la interpretación más fuerte. Aquellos que han estudiado QM más profundamente parecen pensar que el Principio se trata de algo básico para lo que podríamos llamar realidad. IOW, no podemos saber la ubicación exacta de algo como un electrón porque no tiene una ubicación exacta.

Los experimentos sugieren constantemente que no se puede señalar una partícula, a escalas subatómicas, en un espacio de fase de 6 dimensiones (x, y, z, Vx, Vy, Vz) porque no tiene una ubicación específica en ese espacio. Heisenberg nos dice, de hecho, que cuanto mejor conozca x, y, z, más difusa y extendida será Vx, Vy, Vz y viceversa (o, más probablemente, alguna combinación de los dos).

La importancia de esto es que el espacio de fase está en la raíz de todos nuestros métodos actuales para resolver ecuaciones de movimiento. Por lo tanto, estamos algo obstaculizados cuando tratamos de resolver los movimientos de las partículas subatómicas.

Es una onda en movimiento o un único punto en el espacio / tiempo.

Puede medir la “ubicación” de algo o su “velocidad” a través del espacio / tiempo. No ambos.

El principal afirma que puede conocer la ubicación de precios de algo en las 3 dimensiones, o puede conocer sus propiedades de cuarta dimensión. Es movimiento a través del tiempo, volocity y aceleración. Nunca ambos en el mismo momento.