La conductividad eléctrica es el movimiento de electrones a través de un material. En mecánica cuántica, el estado de un electrón está determinado por su función de onda [math] \ Psi (\ mathbf {x}, t) [/ math]. Entonces, cuando hablamos del movimiento de los electrones, realmente estamos hablando de la evolución temporal de la función de onda. Esto está determinado por la ecuación de Schrödinger,
[matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ Psi (\ mathbf {x}, t) = H \ psi (\ mathbf {x}, t) [/ math]
En el lado izquierdo, tenemos la constante de Planck [matemáticas] \ hbar [/ matemáticas] y la derivada del tiempo de la función de onda, y en el lado derecho tenemos el operador hamiltoniano,
[matemáticas] H = – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 + V (\ mathbf {x}) [/ matemáticas]
donde [math] \ nabla ^ 2 [/ math] es el operador de Laplace, [math] m [/ math] es la masa del electrón y [math] V (\ mathbf {x}) [/ math] es el potencial función energética
Esta energía potencial del electrón depende de su entorno y de su ubicación dentro de ese entorno. Cuando hablamos de conductividad eléctrica, generalmente hablamos del movimiento de los electrones a través de los sólidos, como el metal o el caucho. La estructura atómica de la mayoría de los sólidos es la de un cristal, lo que significa que tiene ciertas simetrías. Por ejemplo, la estructura cristalina del cloruro de sodio (sal de mesa) se ve así:
Este cristal tiene simetría cúbica . Imagine extender la estructura en esta imagen hasta el infinito en todas las direcciones. Si mueve todo el cristal dos átomos hacia la derecha, se verá exactamente igual. Si lo mueve seis átomos hacia arriba, se verá igual. Si lo mueve 12 átomos en la pantalla, todavía se verá como si nada hubiera cambiado. Los cristales cúbicos son el tipo más simple de cristal 3D, pero hay muchos otros tipos. El silicio y el germanio, por ejemplo, tienen estructuras de cristal cúbico de diamante. Debido a que la energía potencial es solo la suma de todas las energías de interacción entre el electrón y los átomos, el potencial “sentido” por un electrón a medida que viaja a través de un cristal tiene las mismas simetrías que el cristal mismo.
Con este conocimiento del potencial [matemáticas] V (\ mathbf {x}) [/ matemáticas], podemos volver a la ecuación de Schrödinger y ver qué nos dice sobre la conductividad eléctrica. A nivel mecánico cuántico, la conducción eléctrica equivale a una transición entre estados electrónicos. La forma clásica de pensar sobre este proceso es una transición de un electrón que se encuentra inicialmente en una ubicación (estado n. ° 1) y luego responde a una fuerza electromagnética y se mueve a otra ubicación (estado n. ° 2). Puede hacer lo mismo en mecánica cuántica (es decir, considerar la probabilidad de comenzar en un lugar y moverse a otro), pero resulta matemáticamente menos conveniente. Un enfoque más fácil es clasificar los estados electrónicos de acuerdo con sus energías. Un estado electrónico tiene una energía definida cuando es un estado propio del operador hamiltoniano. Es decir, la función de onda correspondiente satisface la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo,
[matemáticas] H \ psi (\ mathbf {x}) = E \ psi (\ mathbf {x}) [/ matemáticas]
donde [matemáticas] E [/ matemáticas] es la energía, que es una constante. Debido a la función de energía potencial periódica [math] V (\ mathbf {x}) [/ math], los valores permitidos de [math] E [/ math] se agrupan en bandas, que se parecen a esto:
Similar al caso de los electrones libres, la energía depende de un vector de onda [math] \ mathbf {k} [/ math]. También podemos indexar las energías según las bandas: [matemática] n = 1 [/ matemática] corresponde a la banda más baja (la región magenta en la imagen), [matemática] n = 2 [/ matemática] corresponde a la siguiente banda (la región amarilla), y así sucesivamente. Por lo tanto, podemos escribir las energías como [matemáticas] E = E_n (\ mathbf {k}) [/ matemáticas]. Las funciones de onda correspondientes a estas energías toman la forma de una onda Bloch,
[matemáticas] \ psi_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) = e ^ {i \ mathbf {k \ cdot x}} u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) [/matemáticas]
donde [math] u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) [/ math] es una función con la misma periodicidad que el cristal. Sumando la dependencia del tiempo, la función de onda general correspondiente a la energía [matemáticas] E_n (\ mathbf {k}) [/ matemáticas] es
[matemáticas] \ Psi_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {x}, t) = e ^ {i [\ mathbf {k \ cdot x} – (E_ {n \ mathbf {k}} / \ hbar ) t]} u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) [/ math]
Esta es una solución a la ecuación completa de Schrödinger (dependiente del tiempo). Parece una onda plana que se propaga en la dirección de [math] \ mathbf {k} [/ math], con frecuencia [math] \ omega = E_ {n \ mathbf {k}} / \ hbar [/ math] y a sobre estacionario dado por [math] u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) [/ math]. El vector [math] \ hbar \ mathbf {k} [/ math] a menudo se llama el “momento cristalino”, pero este no es el momento real [math] \ mathbf {p} [/ math] del electrón en este estado . Debido a que el operador hamiltoniano no conmuta con el operador de momento en este caso, tener una energía definida significa que el electrón no tiene un momento definido: tiene una distribución de momentos. Sin embargo, con un poco de trabajo, puede demostrar que la velocidad promedio (es decir, la velocidad de grupo) de un electrón en un cristal con energía [matemática] E_ {n \ mathbf {k}} [/ matemática] es
[math] \ langle \ mathbf {v} \ rangle = \ frac {1} {\ hbar} \ frac {\ partial E_ {n \ mathbf {k}}} {\ partial \ mathbf {k}} [/ math]
Esto es solo el gradiente de la energía en el espacio k dividido por la constante de Planck. El momento promedio es solo la masa multiplicada por esta velocidad promedio, [matemáticas] \ langle \ mathbf {p} \ rangle = m \ langle \ mathbf {v} \ rangle [/ math].
Entonces, esos estados electrónicos son los estados de electrones individuales en un potencial cristalino periódico. Sin embargo, cada material con el que tratamos tiene una gran cantidad ([matemática] \ sim 10 ^ {26} [/ matemática]) de electrones. Por lo tanto, al poner múltiples electrones en un sistema, el principio de exclusión de Pauli entra en vigencia. Esto significa que no hay dos electrones que puedan ocupar el mismo estado físico. En términos de nuestros estados de energía, esto significa que no hay dos electrones que puedan tener la misma energía y el mismo giro. Debido a que cada electrón puede tener dos posibles estados de espín (arriba o abajo), cada nivel de energía puede contener como máximo 2 electrones. Por lo tanto, cuando agregamos electrones a un cristal, llenarán las bandas de energía, comenzando desde la más baja y avanzando hacia arriba con dos electrones que ocupan cada estado de energía. Los electrones llenan los niveles de energía hasta el nivel de Fermi [matemáticas] E_F [/ matemáticas], que es el nivel de energía en el que entra el último electrón. Dependiendo del cristal particular, el nivel de Fermi puede estar entre dos bandas o en el medio de una banda particular, como se ilustra a continuación (las superficies azules son las bandas de energía).
Cuando aplica un campo eléctrico a un sólido, los electrones en estas bandas de energía comienzan a moverse. Cuando el campo eléctrico varía lentamente y es suficientemente pequeño, los electrones se mueven solo dentro de las bandas, cambiando entre diferentes valores de [math] \ mathbf {k} [/ math]. Por ejemplo, cuando se aplica un campo eléctrico constante [math] \ mathbf {E} [/ math] al material, el vector de onda de cada electrón después de un (corto *) tiempo [math] t [/ math] es
[math] \ mathbf {k} (t) = \ mathbf {k} (0) – \ frac {et} {\ hbar} \ mathbf {E} [/ math]
donde [math] \ mathbf {k} (0) [/ math] es su vector de onda inicial y [math] (-) e [/ math] es la carga eléctrica del electrón. Un cambio del vector de onda corresponde a un cambio en la dirección o velocidad de la función de onda de propagación. Esencialmente, la función de onda de cada electrón se acelera como un todo en respuesta al campo eléctrico. A gran escala, vemos esto como electrones acelerados.
Sin embargo, si una banda está completamente llena, no hay ningún lugar en el espacio k para que ninguno de los electrones de esa banda vaya sin violar el principio de exclusión de Pauli (imagínese levantarse de su asiento en un teatro completamente lleno y tratar de encontrar otro asiento – No hay a dónde ir). En este caso, los electrones en esta banda permanecen estacionarios, no responden al campo eléctrico. Por lo tanto, un material donde todas las bandas están llenas o vacías es un aislante: cuando aplica un voltaje a través de él, se genera poca o ninguna corriente.
Por otro lado, las bandas ocupadas más altas en metales están solo parcialmente llenas. Esto deja mucho espacio en esas bandas de “conducción” para que los electrones se muevan, lo que lleva a una respuesta más pronunciada a los campos eléctricos (y magnéticos) aplicados. Por esta razón, la mayoría de los metales son buenos conductores.
Por supuesto, hay muchos más detalles involucrados en la conductividad de un material, pero esa es básicamente la idea principal.
* Cuando el electrón llega al borde de la zona de Brillouin en el espacio k , se refleja, en un proceso similar al reflejo de Bragg. Es por eso que los electrones no se aceleran indefinidamente y terminas con una corriente constante promediada en el tiempo en respuesta al campo eléctrico.
