Respuesta corta: un cálculo extremadamente largo y complicado que implica resolver la ecuación de Schrodinger para el átomo de hidrógeno, que es un proceso muy complicado.
Para exponer eso un poco: usando coordenadas esféricas, intenta resolver:
[matemáticas] E \ Psi (r, \ theta, \ phi) = – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ Psi (r, \ theta, \ phi) – \ frac {ke ^ 2 } {r ^ 2} \ Psi (r, \ theta, \ phi) [/ math]
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Utiliza la separación de variables como de costumbre para un PDE (una discusión extendida en sí misma), y encuentra (a) los armónicos esféricos para las partes angulares y (b) una expresión para la parte dependiente de [math] r [/ math] El PDE.
Cuando realiza este cálculo completo, obtiene que [matemáticas] E [/ matemáticas] solo puede tomar una forma particular; a saber, una expresión complicada (dependiente de constantes fundamentales) multiplicada por la inversa de un entero al cuadrado, que llamamos el número cuántico principal. (No es [matemática] \ frac {E_1} {n} [/ matemática] como sugiere, es [matemática] \ frac {E_1} {n ^ 2} [/ matemática], en realidad; no estoy seguro si eso fue un tipográfico error o simplemente una mala recopilación o qué.)
Vea las secciones 4.1 y 4.2.1 de Griffiths para el cálculo en su detalle completo y sangriento. Es un cálculo largo que no es especialmente esclarecedor (y no veo una forma obvia de “saltar” a la respuesta), por lo que no estoy copiando y / o reescribiendo todo aquí.
–
Respuesta intuitiva (pero no rigurosa) (donde no veo una razón intuitiva de la mecánica cuántica dura , pero recuerdo de mi clase de química HS, y puede ser cómo se justificó históricamente):
Como el electrón es una onda, tiene que “ajustarse” un número entero de longitudes de onda alrededor del átomo. Por lo tanto, la circunferencia debe ser igual a [math] \ lambda n [/ math], para [math] \ lambda [/ math] la longitud de onda del electrón. Como [math] r [/ math] es proporcional a la circunferencia, esto implica que [math] r [/ math] es proporcional a [math] n [/ math]. Como la energía potencial es [matemática] 1 / r ^ 2 [/ matemática], sabemos que la energía total es proporcional a [matemática] 1 / n ^ 2 [/ matemática] – QED.
(Por supuesto, la longitud de onda real de un electrón varía con su impulso, por lo que esta explicación claramente no es correcta, pero también podría tener alguna motivación indirecta que no veo).
