¿Cuáles son algunas falacias interesantes en matemáticas y física? La Ciencia y la Tecnología mejoran el futuro

Te voy a dar algunas falacias matemáticas menos conocidas.

Falacia 1

Supongamos que hay un número natural que no puede describirse sin ambigüedades en catorce palabras o menos.
Entonces debe haber un número tan pequeño. Llamémoslo n .
Pero ahora n es “el número natural más pequeño que no puede describirse sin ambigüedades en catorce palabras o menos”.
¡Esta es una descripción completa e inequívoca de n en catorce palabras, lo que contradice el hecho de que se suponía que n no tenía tal descripción!
Dado que la suposición (paso 1) de la existencia de un número natural que no puede describirse sin ambigüedades en catorce palabras o menos condujo a una contradicción, debe ser una suposición incorrecta.
¡Por lo tanto, todos los números naturales se pueden describir inequívocamente en catorce palabras o menos!

Es muy difícil precisar esta falacia. Tiene más que ver con la naturaleza informal del idioma inglés y las paradojas que pueden surgir de esto, que con cualquier error matemático.

Cualquier oración que intente hacer afirmaciones sobre sí misma corre el riesgo de ser lógicamente inconsistente. El ejemplo clásico es la paradoja del mentiroso ” esta oración es falsa “.

El problema en este caso es la siguiente frase (llamémosla S ):

el número natural más pequeño que no se puede describir inequívocamente en catorce palabras o menos .

S se refiere a sí mismo (porque hace afirmaciones sobre descripciones de números, y S es tal descripción). Además, lo hace de una manera lógicamente inconsistente: si intenta aplicar la descripción S a un número, entonces termina diciendo que S no se aplica a ese número.

Esto significa que S no puede considerarse como una descripción autoconsistente de ningún número natural. ¡Esto, sin embargo, no significa que el número n (en la prueba) no exista! Existe tal número n , yn es el número natural más pequeño que no puede describirse sin ambigüedades en catorce palabras o menos; es solo que la frase “el número natural más pequeño que no puede describirse sin ambigüedades en catorce palabras o menos” no es una descripción de la misma (en el sentido que se está utilizando en la prueba), porque es una frase que no puede ser constantemente afirmado sobre cualquier número.

Por lo tanto, el paso 4 de la prueba (que confunde la naturaleza autoconsistente de S con una contradicción matemática derivada de la existencia de n ) es el culpable.

Esto también está relacionado con la Paradoja de Russell en la teoría de conjuntos: no existe el “conjunto de todos los conjuntos” (si existiera, podría mirar “el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen”. Sea S) ¿ S contiene sí mismo o no? De cualquier manera conduce a una contradicción).

Finalmente, aunque esta prueba particular es falaz, ilustra una técnica de prueba común que, cuando se usa correctamente, es muy poderosa: el principio de buen orden .

Falacia 2

Considere una escalera de longitud L apoyada contra una pared sin fricción que está en ángulo recto con el suelo. Tira de la parte inferior de la escalera horizontalmente lejos de la pared, a velocidad constante v. La afirmación es que esto hace que la parte superior de la escalera caiga infinitamente rápido.

El sentido común nos dice que esto no puede ser cierto, pero ¿puede encontrar la falla en la supuesta “prueba” siguiente de esta afirmación?

pared
El |
_ |
|| \
|| \ L
y | \
|| \
|| \ =======> velocidad v
———— suelo

La Prueba Fallaz: 1: Como se muestra, dejemos que x denote la distancia horizontal desde el fondo de la escalera hasta la pared, en el tiempo t.

1. Como se muestra, deje que x denote la distancia horizontal desde la parte inferior de la escalera hasta la pared, en el tiempo t.
2. Como se muestra, y denote la altura de la parte superior de la escalera desde el suelo, en el tiempo t.
3. Dado que la escalera, el suelo y la pared forman un triángulo rectángulo, x ^ 2 + y ^ 2 = L ^ 2
4. Por lo tanto, y = sqrt (L ^ 2 – x ^ 2).
5. Al diferenciar y dejar que x ‘e y’ (respectivamente) denoten las derivadas de x e y con respecto a t, obtenemos que

y ‘= – (x x’) / sqrt (L ^ 2 – x ^ 2).

6. Dado que el fondo de la escalera se tira con velocidad constante v, tenemos x ‘= v, y por lo tanto y’ = – (xv) / sqrt (L ^ 2 – x ^ 2).
7. Cuando x se acerca a L, el numerador en esta expresión para y ‘se acerca a -Lv, que no es cero, mientras que el denominador se acerca a cero.
8. Por lo tanto, y ‘se aproxima – infinito cuando x se acerca a L. En otras palabras, la parte superior de la escalera cae infinitamente rápido cuando el fondo se ha alejado una distancia L de la pared.

La falacia está en el paso 3.

Aquí se supone implícitamente que la parte superior de la escalera permanece apoyada contra la pared . Sin embargo, eso no siempre es cierto. Una vez que la escalera ha alcanzado un ángulo suficientemente pequeño con respecto a la horizontal, al tirar de la parte inferior de la pared, la parte superior también se alejará de la pared. Cuando esto sucede, ya no existe la relación L ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, porque x, y y L ya no forman los lados de un triángulo rectángulo cerrado.

Si quieres verificar esto por ti mismo, simplemente pruébalo en tu escalera favorita. Verá que la parte superior se separa de la pared justo antes de que la escalera se vuelva horizontal.

Para comprender matemáticamente (o más bien, físicamente) por qué esto es cierto, suponga por un momento que no hubo gravedad. Luego, cuando tire de la escalera, tirará de toda la escalera como una unidad, con la parte superior e inferior alejándose de la pared con la misma velocidad.

La única razón por la cual la parte superior permanece en contacto con la pared la mayor parte del tiempo es por la gravedad. Si la pared no estuviera allí, la gravedad haría que la parte superior de la escalera cayera al suelo en un camino como el que se indica a continuación:

* \
\
* \ escalera
\
* \
\
* \
—————————-

Por lo tanto, la fuerza efectiva de la gravedad en la parte superior de la escalera (en realidad, la combinación de la gravedad y la rigidez de la escalera que evita que la escalera se encoja en longitud y se colapse en un montón) es como se muestra en la flecha diagonal de la imagen. abajo. Esta fuerza efectiva puede considerarse como la suma de dos fuerzas (las flechas horizontal y vertical): una que empuja la parte superior de la escalera contra la pared y otra que desliza la parte superior de la escalera hacia abajo.

<—– \
/ | \
/ | \
/ | \
| / | \
– \ | / \
\

A medida que la escalera se vuelve más y más horizontal, la fuerza efectiva que actúa sobre la parte superior de la escalera (la flecha diagonal) se acerca más a la vertical, y la fuerza que empuja la parte superior contra la pared será cada vez menor, como puede ver desde Acortamiento de la flecha horizontal entre la imagen de arriba y la de abajo:

<- \
* | \
* | \ (Flecha diagonal indicada por asteriscos
* | \ aquí ya que es difícil dibujar un cuadro casi vertical
* | \ línea con caracteres de texto).
* \ | / \
\

Una vez que la fuerza que empuja la parte superior de la escalera contra la pared se vuelve menor que la fuerza con la que desliza la parte inferior de la escalera lejos de la pared, prevalecerá su fuerza y tirará de la escalera lejos de la pared. Una vez que esto sucede, la parte superior estará en caída libre y ya no se regirá por el mismo conjunto de ecuaciones.

Un buen ejercicio es tratar de descubrir la ecuación para la posición de la parte superior de la escalera durante esta etapa de caída libre.

Falacia 3

Una breve revisión del principio de inducción

El principio de inducción matemática dice esto: suponga que tiene un conjunto de números naturales (los números naturales son los números 1, 2, 3, 4, …). Supongamos que 1 está en el conjunto. Supongamos también que, cada vez que n está en el conjunto, n +1 también está en el conjunto. Entonces cada número natural está en el conjunto.

Para decirlo de manera más informal: suponga que tiene el número 1 en su colección, y por cada número que tiene en la colección, también lo tiene más 1 en su colección. Entonces tienes todos los números naturales.

Intuitivamente, la idea es que si comienzas con el número 1 y sigues sumando 1, eventualmente llegarás a cada número.

Esta “prueba” intentará demostrar que todas las personas en Canadá tienen la misma edad, al mostrar por inducción que la siguiente declaración (que llamaremos ” S ( n )” para abreviar) es verdadera para todos los números naturales n :

Declaración S ( n ) : en cualquier grupo de n personas, todos en ese grupo tienen la misma edad.

La conclusión se desprende de esa declaración al dejar que n sea el número de personas en Canadá.

La prueba falsaz de la declaración S ( n ) :

1. En cualquier grupo que consta de una sola persona, todos en el grupo tienen la misma edad, porque después de todo, ¡solo hay una persona!
2. Por lo tanto, la afirmación S (1) es verdadera.
3. La siguiente etapa en el argumento de inducción es demostrar que, siempre que S (n) sea verdadero para un número (digamos n = k), también es verdadero para el siguiente número (es decir, n = k + 1).
4. Podemos hacer esto (1) suponiendo que, en cada grupo de k personas, todos tienen la misma edad; luego (2) deduciendo de ello que, en cada grupo de k +1 personas, todos tienen la misma edad.
5. Sea G un grupo arbitrario de k +1 personas; solo tenemos que demostrar que cada miembro de G tiene la misma edad.
6. Para hacer esto, solo tenemos que demostrar que, si P y Q son miembros de G , entonces tienen la misma edad.
7. Considere a todos en G excepto P. Estas personas forman un grupo de k personas, por lo que todas deben tener la misma edad (dado que suponemos que, en cualquier grupo de personas, todos tienen la misma edad).
8. Considere a todos en G excepto Q. Nuevamente, forman un grupo de k personas, por lo que todos deben tener la misma edad.
9. Deje que R sea otra persona en G que no sea P o Q.
10. Dado que Q y R pertenecen al grupo considerado en el paso 7, tienen la misma edad.
11. Dado que P y R pertenecen al grupo considerado en el paso 8, tienen la misma edad.
12. Dado que Q y R tienen la misma edad, y P y R tienen la misma edad, se deduce que P y Q tienen la misma edad.
13. Ahora hemos visto que, si consideramos dos personas P y Q en G, tienen la misma edad. Se deduce que todos en G tienen la misma edad.
14. La prueba ahora está completa: hemos demostrado que el enunciado es verdadero para n = 1, y hemos demostrado que siempre que sea cierto para n = k también es cierto para n = k +1, entonces por inducción es cierto para todos n .

La falacia está en el paso 9.

¡Puede que no haya nadie más en G que no sea P o Q !

Recuerda que G es un grupo de k +1 personas. Mientras k > 1, k +1> 2 y en este caso existe una tercera persona R en G. Y, el resto de la prueba funcionará.

Entonces, ¿qué prueba esto? Demuestra que S ( k ) implica S ( k +1), siempre que k > 1. En otras palabras, demuestra que si S (2) es verdadero, entonces también lo es S (3), y si S (3) es verdadero, también lo es S (4), y así sucesivamente.

¡Pero en ninguna parte hemos demostrado que S (2) sea cierto! El paso base de esta inducción mostró que S (1) era cierto, pero nuestro paso de inducción no muestra que S (1) implica S (2).

Pensar en ello de la siguiente manera puede ayudar. A lo que se reduce esta prueba es a esto. Está demostrando que si cada par de personas tiene la misma edad, entonces también lo tiene cada grupo de tres personas, y también cada grupo de cuatro personas, y así sucesivamente. Pero eso no es nada sorprendente; Debería ser bastante obvio si lo piensas.

¡El problema es que no es cierto que cada par de personas tenga la misma edad! Es cierto que, en cualquier grupo compuesto por una sola persona, todos en el grupo tienen la misma edad. Sin embargo, la prueba se rompe cuando intentas usar ese hecho para demostrar que cada pareja tiene la misma edad. Si { P , Q } es un par de personas, no hay una tercera persona R en el par para que este paso del argumento funcione y, por lo tanto, no hay forma de concluir que P y Q tienen la misma edad comparándolos con R , que es lo que intenta hacer el resto de la prueba.

Entonces: S (1) es verdadero, y S (2) implica S (3) que implica S (4) etc., pero S (1) no implica S (2) y es por eso que la prueba es falaz.

Espero que esto ayude.

Fuente de falacias -: Esto

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