[Respuesta suelta]
Si una clase de operadores [matemática] A (q) [/ matemática] está parametrizada por alguna entidad real [matemática] q [/ matemática], se podría definir [matemática] X = \ int_ {I} A (q) \, dq [/ math] durante algún intervalo [math] I [/ math] como el operador que satisface
[matemáticas] \ langle \ phi | X | \ psi \ rangle = \ int_ {I} \ langle \ phi | A (q) | \ psi \ rangle \, dq [/ math]
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para cualesquiera dos vectores [matemáticas] | \ phi \ rangle [/ math] y [math] | \ psi \ rangle [/ math]. Este esquema nos permite ‘trasladar la carga de la definición’ al tema bien formulado de la integración sobre los reales. Los operadores se definen por lo que hacen a los vectores .
Por lo tanto, la relación de completitud podría describirse como: [matemáticas] \ langle \ phi | \ left [\ int | x \ rangle \ langle x | \, dx \ right] | \ psi \ rangle = \ langle \ phi | \ psi \ rangle [/ math] para dos vectores cualquiera [math] | \ phi \ rangle [/ math] y [math] | \ psi \ rangle [/ math].
Este esquema puede extenderse a dimensiones más altas y hacerse más riguroso para atender problemas de convergencia, distribuciones, etc.
La suma discreta de dos operadores se define exactamente de la misma manera.
