Todas las respuestas a continuación son correctas y proporcionan una buena explicación. También me gustaría señalar que la función de onda [matemáticas] \ psi (x) [/ matemáticas] es en general una cantidad importante en física. Como los otros han señalado, es el cuadrado de la función de onda [matemática] | \ psi (x) | ^ 2 [/ matemática] lo que da la distribución de probabilidad del sistema.
¿Entonces esto significa que la función de onda [matemáticas] \ psi (x) [/ matemáticas] es completamente inútil, y que solo es [matemáticas] | \ psi (x) | ^ 2 [/ matemáticas] lo que importa?
Bueno, la respuesta es NO . ¡Como puede ver, la función de onda contiene información de fase importante! Es posible que haya escuchado sobre el popular experimento de doble rendija de Young, que muestra que la luz se comporta como una onda . Es posible que también hayas escuchado sobre el mismo experimento realizado con electrones. Si solo importara [math] | \ psi (x) | ^ 2 [/ math], entonces nunca veríamos franjas, porque en realidad, [math] | \ psi (x) | ^ 2 = \ psi (x ) ^ ** \ psi (x) [/ math], y en este proceso, ¡se pierde toda la información de la fase! Sin embargo, lo que realmente sucede es que, en cualquier momento, primero tenemos que agregar las funciones de onda individuales y luego tomar el módulo, que retiene la información de fase. Las matemáticas son bastante fáciles de hacer, y obtienes el comportamiento del coseno.
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¿Es ese el único otro uso de la función de onda? Nuevamente la respuesta es NO. La función de onda también contiene toda la información sobre las ondas constituyentes. Por ejemplo, supongamos que tenemos un hamiltoniano, y conocemos los estados propios de energía de ese hamiltoniano. Es decir, sabemos exactamente aquellos estados que satisfacen la relación:
[matemáticas] \ hat {H} \ psi_n = E_n \ psi_n [/ matemáticas]
Entonces, si tengo otra función de onda compleja, sé que ahora puedo expresarla como:
[matemáticas] \ phi = \ sum a_n \ psi_n [/ matemáticas]
Esta es una relación muy útil. ¡Porque ahora, he reemplazado una función de onda arbitraria con una superposición de funciones de onda cuyo comportamiento sé exactamente! Además, ahora puedo obtener la probabilidad de encontrar cualquiera de las ondas constituyentes, simplemente tomando un producto interno, como:
[matemáticas] | a_n | ^ 2 = | \ bra {\ psi_n} \ ket {\ phi} | ^ 2 [/ matemáticas]
Hay algunas restricciones para hacer esto, es decir, el conjunto [math] {\ phi_n} [/ math] debe estar completo y así sucesivamente, pero se entiende la esencia.
Como puede ver, la función de onda es un objeto muy complejo y hermoso que contiene toda la información sobre el sistema en cuestión. Puede decirle todo lo que necesita saber sobre el sistema. Puede darle la evolución temporal del sistema, le dice cómo se comportaría el sistema cuando está perturbado y así sucesivamente.
¡Espero que eso aclare algunas de las dudas! Si aún tiene dudas, ¡no dude en preguntar!