¿Qué sucederá cuando una pelota se caiga en un túnel que pasa por el centro de la Tierra? ¿Cuál es el comportamiento de la pelota a medida que acelera hacia el centro de la tierra?

Para agregar la parte rotacional y, por lo tanto, una velocidad lineal inicial en la superficie de la tierra, a la respuesta de Antariksh Bothale, supongamos que dejamos caer la bola en el plano ecuatorial. También supongamos que la pelota perfora su propio camino a través de la caída. Su trayectoria será una elipse con su centro en el centro de la Tierra (omitiendo el cálculo aquí [1]). El período de tiempo seguirá siendo 84,6 minutos, mientras que la pelota pierde el centro de la tierra en más de 300 km.

Para un observador no giratorio en el espacio, el camino se verá de la siguiente manera cuando observemos directamente sobre el polo norte
Ahora imagine, confinamos esta elipse en el agujero de la pregunta. A medida que avanzamos hacia el centro, la velocidad lineal de la pared del hoyo es menor que la velocidad lineal a la que la bola se movía en la superficie de la tierra (v = velocidad angular rx, R> r => v (superficie)> v (pared del hoyo hacia abajo)). Entonces la pelota colisionará con la pared del hoyo después de un tiempo. Lo que sucede después, depende de la colisión. Dependiendo del material del revestimiento de la bola y el orificio, si las colisiones son elásticas, la bola rebotará en una forma de plantilla moviéndose hacia abajo, y desde el otro extremo se moverá hacia atrás en otra forma de plantilla. Tenga en cuenta que la inclinación de la pared del agujero cambiará hasta las 24 horas, y por lo tanto, los puntos de colisión. Ahora, si las colisiones son inelásticas, la pelota no rebotará sino que seguirá deslizándose a lo largo de la pared. Aquí la fuerza de Coriolis tendrá un efecto extra en la pelota y cambiará su velocidad.
Ahora, si desea un agujero para que la bola nunca choque con la pared mientras la tierra sigue girando, consideremos el marco de referencia para un observador en la tierra. Para el tipo que dejó caer el hoyo, la pelota seguirá regresando 2,360 km al oeste del punto de superficie anterior. Puedes imaginar esto pensando que para cuando la pelota completa su trayectoria elíptica para volver al punto inicial, el punto de caída ha girado junto con la tierra hacia el este en 2,360 km. Eso haría que el agujero pareciera una estrella. (Tenga en cuenta que la ilustración aquí no es realmente buena, obtuve un valor de 17.02 brazos que no parece estético, y una espiral esfirográfica se ve mucho mejor)
Hecho adicional: el tema fue discutido muchas veces por Galileo, Hooke y Newton. Pensaron que al observar el camino, podrían probar que la tierra gira. Más tarde, algunos teóricos idearon, (por lo que recuerdo, había planes en Rusia) cavar tales túneles entre las principales ciudades y usar solo la gravedad para hacer que los trenes se muevan entre ellas. Y tendrán los mismos períodos de tiempo, ya sea que vayas de Nueva York a San Francisco o de Nueva York a Tokio. El camino óptimo para el túnel puede ser trazado por un punto en un círculo que rueda sobre la superficie interna de la tierra.

http://math.elon.edu/pmwikimath/ …

Una explicación más laica para la respuesta de Antariksh:

Inicialmente la bola caería hacia el centro debido a la fuerza gravitacional de la tierra y su velocidad seguiría aumentando. Sin embargo, su aceleración disminuiría, es decir, su tasa de ganancia de velocidad disminuiría. Esto sucede hasta que llega al centro. En este punto, su aceleración es 0 ya que ninguna fuerza está actuando sobre él (porque ya está en el centro).

Una vez que sobrepasa el centro, la pelota todavía es atraída hacia el centro, pero ahora va en la dirección opuesta al tirón. Por lo tanto, comienza a perder su velocidad y la tasa de pérdida de velocidad sigue aumentando alejándose del centro. Esto sucede hasta que la pelota se detiene (lo que sucedería a una distancia desde el centro exactamente igual a la distancia desde la que se lanzó al otro lado).

Una vez que la pelota se ha detenido, repite todo el proceso una y otra vez, queda atrapada en un movimiento oscilatorio infinito. De hecho, este movimiento es un movimiento oscilatorio especial llamado formalmente Movimiento armónico simple.

Respuesta corta: La pelota podría terminar flotando en el centro del núcleo, o creando una explosión nuclear, o destruyendo el planeta.

Respuesta larga: depende de qué tan rápido vaya la pelota y de si perforaste un agujero en la Tierra con anticipación o no.

Perforar un agujero en la Tierra antes de lanzar la pelota probablemente sería la mejor opción. La pregunta de qué le sucede a algo que cae en un agujero a través de la Tierra se ha preguntado antes, pero esencialmente, oscilaría de un lado a otro hasta que la resistencia del aire lo frenara y se detuviera en el centro.

Si no ha perforado un agujero primero, tendrá que empujar la pelota de béisbol a través de la Tierra, una de las dos cosas malas sucederá. Para que un objeto atraviese la Tierra, necesita una fuerza bastante grande, lo que significa que necesitará una masa bastante grande o una bola muy rápida. Esto lleva a dos escenarios. Comenzaremos con el mejor de los casos.

Un cálculo rápido de física básica (energía cinética = 1/2 * masa * velocidad ^ 2) nos muestra que tomar una pelota de béisbol regular (145 gramos) y acelerarla a .99% de la velocidad de la luz nos da alrededor de 6.5 petajulios de energía, lo que Wolfram Alpha nos dice útilmente es aproximadamente el 65% de la energía de impacto del objeto que formó Meteor Crater, o aproximadamente 1 y medio megatones de TNT. No me gustaría estar de pie allí, pero esta pelota claramente no atraviesa la Tierra. Ni siquiera atravesaría la corteza.

Sin embargo, lo más importante es que la pelota tiene que atravesar la atmósfera, y golpear la atmósfera es como golpear una pared de ladrillos a estas velocidades, porque las moléculas simplemente no tienen tiempo para salir del camino. Aquí se describen muy bien los efectos de lanzar una pelota de béisbol ridículamente rápido, pero la historia corta es que la pelota colisiona muy rápidamente con los átomos, creando fusión nuclear y una explosión en algún lugar de la atmósfera. Y sí, la explosión nuclear es el mejor de los casos.

Ahora, para el peor de los casos. Como no especificaste de qué estaba hecha la pelota, vamos a divertirnos un poco con eso y decir que es un agujero negro.

Este agujero negro pesaría tanto como 4 tierras (todas apiñadas dentro de una pelota de béisbol, recuerden, estos se llaman agujeros negros primordiales, y quedarían desde el comienzo del universo. Digo sería porque nunca hemos visto realmente cualquiera de estos). Es cierto que aquí es donde mi experiencia comienza a desmoronarse, pero dado que estamos pensando en una cosa de alta densidad que golpea una cosa de menor densidad muy rápidamente, supongo que desgarraría la Tierra como una bala en un algodón de azúcar. Esto tendría todo tipo de implicaciones interesantes para la Tierra, ninguna de las cuales sería buena para las personas que viven en ella.

Si ignoramos el calor que eventualmente derretirá la bola cuando llegue al núcleo, y supongamos que tenemos un tirón gravitacional en todo el mundo.

Este escenario se desarrollará.

Supongamos que dejamos caer una pelota desde la altura del hombro hasta el hoyo.

La bola acelerará hacia el núcleo de la tierra debido a la gravedad. Justo cuando pasa el núcleo al otro lado, comenzará a desacelerarse.

Eventualmente se mostrará al otro lado del hoyo. Y comienza a caer nuevamente hacia el centro de la Tierra. El proceso se repetirá nuevamente.

y de nuevo … perdiendo algo de energía cinética en cada iteración.

Gradualmente, la pelota perderá toda su velocidad y, después de muchas oscilaciones, se detendrá en el centro de la tierra.

Dato adicional: el agujero más profundo hecho por el hombre en el suelo tiene una profundidad de alrededor de 12 km y el radio de la tierra es de 6400 km aprox.

Así que cavar un agujero en la tierra parece imposible en este momento 😉

Algunas personas ya han mencionado que, en condiciones totalmente poco realistas y muy físicas (sin fricción ni resistencia al aire, Tierra perfectamente esférica con densidad uniforme en todo), lo que arrojes exhibirá un movimiento armónico simple. Creo que es una derivación genial, así que la presentaré aquí.

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Deje que [matemática] G, R, M [/ matemática] sea, respectivamente, la constante gravitacional, el radio de la Tierra y la masa de la Tierra. Dado que la gravedad sigue una ley del cuadrado inverso (ok, no realmente, pero bueno, esto es Física 101), podemos aplicar la Ley de Gauss a una superficie esférica concéntrica de Gauss con radio [math] r \ le R [/ math] (para aquellos familiarizado con la Ley de Gauss en E&M clásica, estoy usando masa, [matemática] 4 \ pi G [/ matemática] y aceleración gravitacional de forma análoga a la carga, [matemática] \ epsilon_0 [/ matemática] y campo eléctrico). Por lo tanto, encontramos que la aceleración gravitacional [matemática] a [/ matemática] a la distancia [matemática] r [/ matemática] desde el centro de la Tierra es
[matemática] G \ left (\ frac {r} {R} \ right) ^ 3 M \ left (\ frac {1} {r ^ 2} \ right) [/ math].

Simplificando y agregando signos donde sea apropiado, tenemos
[matemáticas] a = – \ left (\ frac {GM} {R ^ 3} \ right) r = – \ omega ^ 2 r [/ math]. Pero este es un movimiento armónico simple, para el cual el período de oscilación se da como [matemáticas] T = \ frac {2 \ pi} {\ omega} [/ matemáticas]. Conectar valores nos da un período de 84.35 minutos , lo que significa que el objeto emergerá en el otro extremo del agujero en aproximadamente 42 minutos (¡qué coincidencia!).

Si arrojas un objeto a través de un túnel que no es de poste a poste, entonces se estrellaría contra la pared del túnel después de viajar unos pocos kilómetros debido a la fuerza de Coriolis. La Tierra gira constantemente sobre su eje a una velocidad de 1670 km / h, lo que obligará al objeto a golpear el costado de la pared.

Si el túnel es de polo a polo para minimizar el efecto Coriolis, entonces primero se acelerará el objeto y la masa de la tierra sobre el objeto y debajo del objeto ejercerá la misma cantidad de fuerza y ​​el objeto sentirá ingravidez en el centro . Obviamente, esto ignora el núcleo de hierro fundido en el centro.

Para obtener una representación visual de este experimento mental, vea este video de MinutePhysics ft.Vsauce.

Cuando la pelota comienza a moverse desde un extremo del hoyo, se acelerará hacia el centro de la tierra. Cuando la pelota se acerca al centro de la tierra, se moverá a gran velocidad. Cuando llega al centro, a pesar de que la gravedad es cero, la bola tiene impulso y, por lo tanto, no se puede detener a menos que se ejerza una fuerza opuesta sobre ella. No hay fuerza opuesta en el centro de la tierra, por lo que la bola continuará moviéndose más, hacia el hoyo opuesto. A medida que se aleja del centro, la gravedad comenzará a tirar de él, lo que hará que disminuya su velocidad. Para cuando se detenga, estará lejos del centro de la tierra. En realidad, estará bastante cerca del agujero en el lado opuesto, pero no exactamente en el agujero. Una vez detenido, comenzará nuevamente a dirigirse hacia el centro de la Tierra a medida que la gravedad lo empuje. Esto continuará por muchas veces Esto es como un péndulo. La pelota se balanceará hacia adelante y hacia atrás muchas veces antes de detenerse en el centro de la tierra.

Sí, nos hemos trasladado a otro planeta seguro. La Tierra ha sido habitable. Ahora un humano curioso aprovechó esta oportunidad para experimentar en la Tierra.

OBJETIVO:

Hago un gran hoyo de poste en poste y dejo caer una pelota.

Aparato:

Una máquina ajustable para perforar agujeros en planetas. Una máquina de tiro de bolas en planetas.

Procedimiento:

Preferimos perforar un hoyo en los postes. Ahora lanza la pelota con la máquina de tiro.

Observación:

El planeta que se inclina en ángulo de 23.5 grados con respecto al plano vertical. La parte del planeta que está arriba intenta caer sobre la otra parte. Calculamos la bola perfectamente para que viaje sobre la parte plana inclinada del planeta. La bola se movió primero sobre el plano de la corteza y el manto. Ahora la pelota se mueve repentinamente hacia la parte central y nunca regresa al otro extremo.

Ahora la otra parte del planeta cae sobre el resto. Y el ángulo de rotación del planeta cambia. Los días ahora son más largos.

Precauciones:

Evitar el error de parrallex.

Resultado:

La tierra tiene un largo día ahora.

Gracias

Buena respuesta de Antariksh Bothale, solo una cosa CRUCIAL más para agregar, supongo que tampoco está en ninguna otra respuesta.
Si la pelota simplemente se cae desde la parte superior del hoyo, la pelota se someterá a SHM como usted ha respondido, pero si se arroja a cierta altura o se cae desde una altura equivalente, la pelota se someterá a un movimiento oscilatorio que NO ES SHM .

Eh, estoy bastante seguro de que hay una respuesta muy detallada a esto resuelto. Es un problema de pregrado en mecánica clásica, y se utiliza para ilustrar un punto sobre cómo se calcula la masa de la tierra usando su densidad promedio. Larga historia corta, si no recuerdo mal: una moneda que cae de uno de los polos se enganchará en un movimiento armónico simple que se desplazará entre la parte superior e inferior de la esfera de la tierra sin detenerse (suponiendo que no haya intervención externa). He olvidado por completo cómo resolver esto, y mi recuerdo de esto es incompleto, pero creo que este es el esquema correcto de la pregunta. El libro de texto que utilizamos para esto fue Introducción a la mecánica: Daniel Kleppner, Robert Kolenkow: 9780521198110: Amazon.com: Libros

¡Míralo, podría estar allí y no puedo enfatizar lo suficiente lo incompleto que es mi memoria de este problema en este momento!

Ignorando la fricción, la pelota caerá hacia el centro mientras acelera. Luego se moverá más, disminuirá la velocidad hasta llegar al extremo opuesto del túnel. A partir de ahí, retrocederá por completo y circulará indefinidamente. Asumiendo que la Tierra es perfectamente esférica.

El policía respondió: debido al manto y al núcleo, el artículo sería destruido incluso antes de que tuviera la oportunidad de llegar al centro.

Pero digamos que el artículo puede sobrevivir al viaje.

Nada espectacular sucederá. El objeto se aceleraría por el agujero, a medida que la gravedad de la Tierra lo empuje. Cuando llegue al centro, la gravedad de la Tierra lo empujará desde todas las direcciones por igual, y no tendrá peso, solo brevemente. Luego continuaría cayendo al otro lado del agujero, llegará a la salida; y a menos que se aferre a algo, simplemente repetiría el proceso nuevamente.

Como no tenía nada que hacer, hice todo el cálculo para calcular el período de tiempo de la partícula en los siguientes 2 casos:

1. Si la partícula orbita alrededor de la Tierra desde arriba de la superficie de la Tierra.
2. Si la partícula es arrojada por un túnel excavado directamente a través de la Tierra.

He asumido que la Tierra es una esfera perfecta con una densidad uniforme “d” y radio “R”. Y sí, ¿cómo puedo olvidarlo? He asumido que la Tierra está estacionaria y no gira. De lo contrario, ¡todo el infierno se desatará!

Aquí están las matemáticas …

Como puede ver, el período de tiempo en los 2 casos es el mismo.

El objeto que pasa por el centro de la Tierra hará un movimiento armónico simple …

Qué bueno es eso 😉

En realidad, esto es prácticamente imposible, pero teóricamente podemos explicarlo.

La bola de metal se moverá hacia el centro primero con aceleración positiva bajo el efecto de la gravedad. Luego, desde el centro a la otra parte, la aceleración será negativa, por lo que su velocidad disminuirá. Nuevamente, será empujado hacia el centro debido a la fuerza gravitacional.

Ball hará un movimiento armónico simple. Donde la aceleración es inversamente proporcional a la distancia desde el centro.

Es muy hipotético.

Atravesaría el centro, ganaría velocidad y llegaría al otro lado de la tierra, disminuiría la velocidad, luego volvería a caer al centro y llegaría a usted nuevamente, y así sucesivamente … Suponiendo que el agujero esté vacío.

Si habrá algo de aire (u otros gases), el objeto alcanzará en cada interacción un punto más bajo.

Pero en realidad la tierra no es homogénea, por lo que el objeto tenderá a moverse lateralmente, por lo que su agujero no debe ser recto. OTOH cambia la velocidad, también cambia la trayectoria de dicho objeto.

Sería más fácil (luego cavar un hoyo) usar un objeto que interactúa débilmente, como algunos neutrinos. OTOH objeto de interacción débil también son difíciles de ver rebotando.

(aquí solo se ha tenido en cuenta el efecto de la gravedad y se supone que la densidad de la tierra es uniforme)

Cuando una pelota se deja caer en un túnel que pasa por el centro de la tierra, siempre que pueda sin convertirse en llama de energía. La bola acelerará a una velocidad de aceleración decreciente (descomponiéndose en el cálculo: máximo en la superficie, igual a gy disminuyendo siguiendo la ecuación g (1-d / R)) y velocidad máxima y aceleración cero en el centro. A medida que la pelota pase por el centro, la velocidad de desaceleración aumenta siguiendo la misma ecuación mencionada anteriormente y la velocidad disminuye hasta llegar a la superficie hacia el otro extremo, donde la velocidad de la pelota será nuevamente cero. Esta oscilación de la bola continuará y continuará indefinidamente hasta que se detenga.

Además, ¿por qué harías eso? Es una molestia.

El béisbol se oscilará. La pelota se acelera hasta el centro … y alcanza su velocidad máxima allí. Se desacelera después de cruzar el centro, disminuye la velocidad y alcanza la velocidad cero en el otro extremo y regresa. El ciclo continúa hasta la eternidad (al menos idealmente). Incluso puede calcular el período de tiempo de oscilación. Será alrededor de 83.5 minutos.
NOTA: Esta respuesta supone que el béisbol sobrevive a todas las condiciones de las capas internas de la tierra y que la densidad de la tierra es uniforme y el movimiento no se amortigua.

Bueno, dependiendo de dónde comience a perforar (océano o tierra), perforará de 3 a 20 millas a través de la corteza terrestre y golpeará el manto. En este punto, podrían suceder dos cosas, su broca (si duró el inmenso calor de las partes más profundas de la corteza) se derretirá cuando golpee la lechada fundida que forma el manto, o … usted y su equipo de perforación obtén una cara llena de magma mientras tu agujero se convierte en el primer volcán hecho por el hombre. A partir de este momento, todo lo que planeaste hacer con la pelota es irrelevante porque tu plataforma está destruida y / o estás muerto.

Si sueltas la bola en otro lugar que no sea el centro de la Tierra, continuará acelerando hasta el centro.

Entonces, debido a la energía cinética, continuará moviéndose pero desacelerándose. Una vez que la velocidad llega a cero, nuevamente comenzará a moverse hacia el centro y el mismo proceso continúa.

La bola seguirá oscilando en shm si no hay resistencia del aire.

Si logras soltar la pelota exactamente en el centro, simplemente permanecerá allí, flotando.