¿Qué significa en la definición de la función de transferencia “las condiciones iniciales se suponen cero”?

Una buena definición de la función de transferencia es: para cualquier sistema SISO invariante en el tiempo lineal, la relación entre su salida y entrada en el dominio de Laplace se llama Sistema de transferencia cuando se supone que toda la condición inicial es cero .

Esta línea en la definición de la función de transferencia es en realidad el reflejo de la transformada de Laplace de la ecuación diferencial.

Si escribe la ecuación diferencial de enésimo orden y toma su transformación L, obtendrá tantos términos que contienen 0- y 0+. Estos residuos no son más que las condiciones iniciales de cada término.

Si no hace que este término inicial sea cero, no obtendrá esa relación [ Y (s) / R (s) o salida / entrada] por unanimidad independiente de la entrada [variable]. Por el contrario, solo está haciendo que el sistema sea lineal. Mira esto. Gracias por A2A.

La función de transferencia [matemática] H (s) [/ matemática] indica cuál es la salida [matemática] Y [/ matemática] de un sistema cuando su entrada es [matemática] U [/ matemática]. En el dominio de frecuencia ([math] s [/ math]) tenemos

[matemática] H (s) = Y (s) / U (s) \ Rightarrow Y (s) = H (s) U (s) [/ math]

La salida de un sistema (nos estamos restringiendo a los sistemas LTI) en cualquier momento se debe al efecto concurrente de la señal de entrada (o señales, cuando hay varias entradas en el sistema) y de las condiciones iniciales , que son una manifestación de la energía almacenada en el sistema en [matemática] t = 0 [/ matemática]. Es decir, nombrando esos IC sas [matemática] x_k (0) [/ matemática], podemos escribir

[matemática] Y (s) = H (s) U (s) + \ sum_k A_k (s) x_k (0) [/ matemática]

donde [math] A_k (s) [/ math] son ​​algunas fracciones racionales en [math] s [/ math].

Entonces, para conocer la relación de entrada / salida en un sistema LTI, que viene dada por la función de transferencia [matemática] H (s) [/ matemática], debe garantizar que cuando la señal de entrada [matemática] U [/ matemática] se está aplicando, la salida [matemática] Y [/ matemática] tampoco está impulsada por la energía almacenada previamente en el sistema, y ​​eso significa que tiene que imponer cero condiciones iniciales.

Se supone que la función de transferencia representa el operador [matemática] H [/ matemática] que asigna las entradas [matemática] u (t) [/ matemática] a las salidas [matemática] y (t) [/ matemática], en el dominio de la frecuencia.

Considere la ecuación diferencial [matemáticas] \ dot y (t) = – y (t) + u (t) [/ matemáticas]. Queremos obtener la función de transferencia que relaciona la entrada [matemática] u [/ matemática] y la salida [matemática] y. [/ Matemática]

Por supuesto, la función de transferencia relaciona las versiones de dominio de frecuencia de estas señales. Tenemos que tomar la transformación de Laplace para conseguirlos.

Entonces, [matemáticas] L \ {u (t) \} = U (s) [/ matemáticas], y [matemáticas] L \ {y (t) \} = Y (s), [/ matemáticas]

donde [math] L \ {\} [/ math] es el operador de laplace. Ahora,

[matemática] L \ {[/ matemática] [matemática] \ dot y (t) = – y (t) + u (t) \} [/ matemática]

es

[matemáticas] L \ {\ dot y (t) \} = – L \ {y (t) \} + L \ {u (t) \} [/ matemáticas]

por linealidad del operador de laplace. Podemos evaluar la expresión anterior para

[matemáticas] s Y (s) – y (0) = -Y (s) + U (s). [/ matemáticas]

Luego,

[matemática] (1 + s) Y (s) = U (s) + y (0). [/ matemática]

Esta es la única expresión válida que puede derivarse de la ecuación diferencial conocida. No le dice cómo la ecuación diferencial asigna entradas a salidas, sino cómo se relacionan las señales Y (s), U (s) e y (0). Para saber cómo [matemática] Y (s) [/ matemática] está relacionada exclusivamente con [matemática] U (s) [/ matemática], la condición inicial debe ser cero.

[matemáticas] \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {1 + s}. [/ matemáticas]

Entonces, lo contrario es un punto importante que puede engañar a las personas. Cuando toma una función de transferencia y utiliza la transformación inversa de Laplace para predecir [matemática] y (t) [/ matemática] a partir de [matemática] u (t) [/ matemática], ¡solo es válida para una sola condición inicial! Si usa una condición inicial diferente, la solución resultante no coincidirá con la predicción [matemática] y (t). [/ Matemática]

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