¿Cómo se deriva un hamiltoniano cuántico?

Que H es el generador infinitesimal de las traducciones de tiempo en la mecánica cuántica es una consecuencia directa de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para la función de onda.

El operador de evolución completa estará dado por el exponencial ordenado por tiempo del operador hamiltoniano en general, con un factor apropiado de [math] \ sqrt {-1} [/ math] incluido. Si el hamiltoniano es hermitaño, entonces será un operador unitario.

Ahora, en general, no se “deriva” un hamiltoniano cuántico. En su lugar, simplemente escriba un Hamiltoniano que sea apropiado para el problema físico que está tratando de resolver. Por ejemplo, para la teoría BCS de superconductividad podemos escribir el hamiltoniano en forma aproximada:

[matemáticas] H = \ hbar \ sum_i \ omega _i \, a ^ \ dagger_i a_i + \ frac {g} {2} \ sum_i \ sum _j a ^ \ dagger_i a ^ \ dagger_j a_i a_j [/ math],

donde las a son operadores de aniquilación y creación para los estados electrónicos apropiados. Esta forma está hecha, no se deriva de nada en particular, pero involucra una energía de una sola partícula y una interacción de dos cuerpos.

Pero, dada una teoría clásica particular, hay varios procedimientos de cuantificación.

Una forma de cuantificar una teoría clásica, llamada cuantización canónica, es tomar la formulación hamiltoniana de esa teoría y reemplazar todas las coordenadas y momentos generalizados por operadores en el espacio de posibles funciones de onda. Los corchetes de Poisson y los corchetes de Dirac en el caso de sistemas clásicos con restricciones de segunda clase son reemplazados por conmutadores de esos operadores.

Si observa este procedimiento en un caso muy simple, como una partícula libre, le resultará más claro por qué el operador hamiltoniano es el generador infinitesimal de las traducciones de tiempo en la mecánica cuántica. Esto es así porque también lo fue en el caso clásico, como se desprende de las ecuaciones de movimiento hamiltonianas.

Ahora, esto lleva al problema de ordenación del operador que otros han señalado hábilmente: a menudo hay más de una orden para los operadores al reemplazar las coordenadas clásicas y los momentos por operadores: estas órdenes conducen a diferentes hamiltonianos cuánticos. Pero todos ellos tendrán el mismo límite clásico.

Esto no debería sorprendernos: la mecánica clásica es el límite de la mecánica cuántica y no al revés.

No sé qué libro de texto está utilizando, pero hay un excelente tratamiento de este mismo concepto en Modern Quantum Mechanics de Sakurai. Trataré de resumir los argumentos clave.

¿Por qué H es el generador de traducciones a tiempo para un sistema cuántico?

Como usted señala, por razones de consistencia dentro de la mecánica cuántica, el operador de evolución de tiempo infinitesimal [matemática] U (\ delta t) [/ matemática] necesita satisfacer algunas propiedades, incluidas la unitaridad y la aditividad. Ahora, “adivinamos” una forma matemática para el operador:
[matemáticas] U (\ delta t) = 1-i \ Omega \ delta t [/ matemáticas]
donde por el momento [math] \ Omega [/ math] es solo un operador hermitiano. Sucede que esta “suposición” satisface todos los requisitos que le exigimos. Ahora recuerde que en la mecánica cuántica, los observables físicos están asociados con operadores hermitianos. ¿A qué observable podría corresponder [matemáticas] \ Omega [/ matemáticas]? Resulta que [math] \ frac {\ Omega} {\ hbar} [/ math] tiene las dimensiones de la energía, y por eso le damos un nombre (tomado de la mecánica clásica): El hamiltoniano [math] H [/ math ] (Sakurai cita a Julian Schwinger diciendo “… para propiedades fundamentales, tomaremos prestados solo nombres de la física clásica”, énfasis mío)

¿Cómo se deriva H para un sistema cuántico?

Desde mi punto de vista, no se puede derivar [matemática] H [/ matemática] solo desde la mecánica cuántica. Es el mismo sentido por el cual la * mecánica * newtoniana no le da una expresión de fuerza, todo lo que hace es decirle cómo se comporta su sistema cuando hay varias fuerzas presentes. Necesita entradas adicionales de la física (por ejemplo, gravitación o electromagnetismo) para eso. Del mismo modo, la mecánica cuántica solo le dice cómo se comporta un sistema cuántico bajo una determinada física, la física debe ser suministrada por el usuario. Por ejemplo, para el átomo de Bohr, el hamiltoniano incluye la energía de atracción de Coulomb entre el electrón y el protón. Los modelos más complicados del átomo de hidrógeno incluyen términos para describir campos magnéticos que interactúan con el espín electrónico, y así sucesivamente.

Parte de la física teórica moderna (en términos demasiado simplificados) implica adivinar modelos simples para el hamiltoniano y ver si los experimentos confirman las predicciones.

Derivar el Hamiltoniano es algo difícil y no es un problema completamente resuelto. Básicamente, con un sistema mecánico cuántico, desea que el comportamiento del sistema se corresponda con un sistema clásico apropiado en el límite a medida que la constante de Planck llega a cero. Básicamente, esto dice que un sistema cuántico debería convertirse en un sistema clásico ya que los efectos cuánticos se vuelven insignificantes.

Desafortunadamente, generalmente no hay un Hamiltoniano cuántico único que tenga el sistema clásico deseado como límite. Esto se conoce como el “problema de pedido del operador”. Los operadores cuánticos no conmutativos corresponden, en el límite clásico, a las cantidades físicas conmutadas, por lo tanto, hay hamiltonianos con varios ordenamientos de operadores cuánticos que se acercan al mismo sistema clásico con cantidades conmutadas en el límite clásico.

Si tiene suerte, entonces el único Hamiltoniano disponible no tiene ningún problema para ordenar operadores. De lo contrario, debe investigar el sistema empíricamente y decidir qué Hamiltoniano cuántico funciona mejor.

Primero, cuando hablas de traducciones en el tiempo, ciertamente te refieres a la evolución en el tiempo (es decir, con H, construyes un propagador). Ambos son bastante distintos para muchos sistemas.
Sobre la derivación, hay varios puntos que abordar. ¿Quiere decir ‘adivinar’ el modelo relevante para su sistema? ¿O quiere decir que ‘conoce’ la descripción clásica y quiere ‘actualizarla’ a nivel cuántico? Para el segundo caso, hay una conferencia de Claude Cohen-Tannoudji en el Collège de France que abarca estos aspectos. Claro, técnico y minucioso. Para el primer caso, es su ‘trabajo’ como físico, a menos que esté interesado en cálculos ab initio completos, es decir, resolver la ecuación completa de Schrödinger …

En caso de que tenga un caso específico que le interese, ya sabe dónde publicarlo. 😉

Leonard Susskind tiene una hermosa serie de conferencias sobre mecánica cuántica en Youtube. Discute los operadores unitarios y la derivación del Hamiltoniano como otro operador de evolución del tiempo en la cuarta conferencia / video, en lo que respecta a mi memoria.

http://www.youtube.com/playlist ? …

También tiene un sitio web que tiene diferentes temas de física discutidos en él como una serie de conferencias.

http://theoreticalminimum.com/

Por lo general, uno no deriva un Hamiltoniano para un sistema, sino que construye uno basado en el sistema cuántico. Lo más importante es construir un potencial adecuado. La mayoría de los ejemplos más simples ya se han dado en muchas de las publicaciones. Pero hay varias cosas que debe considerar, por ejemplo, debe poder recuperar un sistema clásico en el límite apropiado.