Para números irracionales generales, no existe tal proceso. Para números algebraicos, hay.
Abordemos primero el caso general. Esta es la quinta entrega de mi serie en ejecución, “¿Por qué la teoría de la computabilidad dice que estás manguera?”.
Lo que vamos a mostrar es que no existe un algoritmo que tome dos números irracionales y computables (es decir, números de tal manera que exista algún algoritmo que escupe su expansión decimal poco a poco) y devuelva “VERDADERO” si el producto es irracional y “FALSO” de lo contrario. Para aquellos que han leído las cuatro entregas anteriores, vamos a utilizar un truco muy familiar. Específicamente, para un programa dado [matemáticas] P [/ matemáticas], voy a definir una función
- ¿Por qué consideramos un fotón, una partícula?
- ¿Qué son los campos esféricamente simétricos y los campos cilíndricos simétricos?
- ¿Por qué ocurre la desintegración radiactiva? ¿Por qué es importante?
- En la ley de Kirchhoff (para la radiación del cuerpo negro) ¿por qué está presente [math] \ delta \ lambda [/ math] en el lado derecho de la ecuación?
- Hace una reflexión de espejo de una fuente de luz pone de tanta luz como la fuente de luz real?
[matemáticas] \ begin {align *} f_P (n) = \ begin {cases} 0 & \ text {si el programa se detiene después de} n \ text {pasos} \\ 1 & \ text {de lo contrario} \ end {cases} \ end {align *} [/ math]
y una constante
[matemáticas] \ begin {align *} \ epsilon_P = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty f_P (n) 10 ^ {- n!} \ end {align *} [/ math].
Como he demostrado antes, [math] \ epsilon_P [/ math] es computable y racional (si [math] P [/ math] finalmente se detiene) o trascendental (si [math] P [/ math] se ejecuta para siempre).
Si [math] \ epsilon_P [/ math] es racional, entonces [math] \ sqrt {2} + \ epsilon_P [/ math] es irracional (esto se deduce del hecho de que la suma de dos números racionales es racional). Si [math] \ epsilon_P [/ math] es trascendental, entonces [math] \ sqrt {2} + \ epsilon_P [/ math] es trascendental (esto se deduce del hecho de que la suma de dos números algebraicos es algebraica). Vemos que en cualquier caso, [math] \ sqrt {2} + \ epsilon_P [/ math] es irracional. Por el mismo argumento, también lo es [math] \ sqrt {2} – \ epsilon_P [/ math]. Ahora, considera el producto
[matemáticas] \ begin {align *} \ left (\ sqrt {2} + \ epsilon_P \ right) \ left (\ sqrt {2} – \ epsilon_P \ right) & = 2 – \ epsilon_P ^ 2 \ end {align * }[/matemáticas].
Es racional si y solo si [math] \ epsilon_P [/ math] es racional. Pero sabemos que [math] \ epsilon_P [/ math] es racional si y solo si el programa [math] P [/ math] se detiene. Por lo tanto, si tuviéramos un algoritmo que pudiera determinar si el producto de dos números irracionales era irracional, entonces podríamos usar ese algoritmo para determinar si [math] P [/ math] se detiene.
Es decir, podemos usarlo para resolver el problema de detención. Esto es imposible, por lo que hemos demostrado que no existe un algoritmo que haga lo que queremos.
Por otro lado, si restringimos nuestra atención lejos de los números computables generales, y solo miramos algo más simple, como los números algebraicos, entonces es posible determinar si el producto es irracional o no, y realmente se reduce a lineal álgebra.
Este es el enfoque general: dados dos números algebraicos [matemática] \ alpha [/ matemática] y [matemática] \ beta [/ matemática], debe
- determine los polinomios mínimos de [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math]; deje que los grados de estos polinomios sean [math] m [/ math] y [math] n [/ math], entonces
- considere el conjunto [matemáticas] 1, \ alpha, \ alpha ^ 2, \ alpha ^ 3, \ ldots, \ alpha ^ {m – 1}, \ alpha \ beta, \ alpha \ beta ^ 2, \ ldots, \ alpha \ beta ^ {n – 1}, \ ldots \ beta ^ {n – 1} [/ math]. Este conjunto es sin duda un conjunto que abarca la extensión algebraica de los racionales que contienen [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math], pero puede tener elementos redundantes, por lo que debe
- encuentre una base de los elementos de este conjunto de expansión. Tu puedes ahora
- calcule el producto [math] \ alpha \ beta [/ math] en términos de esta base: puede usar las relaciones proporcionadas por los polinomios mínimos de [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math] . Queda por
- compruebe si el resultado tiene componentes no racionales. Si lo hace, ¡es irracional! De lo contrario, es racional.
Este proceso funcionará no solo para productos, sino para cualquier combinación algebraica de [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math]. Si solo desea ver [math] \ alpha \ beta [/ math], puede simplificar su vida de diferentes maneras.
Por ejemplo, si encuentra que [math] m \ neq n [/ math], puede detenerse inmediatamente: el producto será irracional. (Te dejaré pensar por qué)
